Номер 1001, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §25. Линейное уравнение с двумя переменными и его график - номер 1001, страница 194.

Условие.

1001. Докажите, что значение выражения $2^{96} + 4^{100} - 2^{92} - 4^{98}$ кратно числу:

1) 15;

2) 240.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что значение выражения кратно заданным числам, сперва упростим его, приведя все слагаемые к одному основанию — 2.

Исходное выражение: $2^{96} + 4^{100} - 2^{92} - 4^{98}$.

Поскольку $4 = 2^2$, мы можем переписать степени с основанием 4:

$4^{100} = (2^2)^{100} = 2^{2 \cdot 100} = 2^{200}$

$4^{98} = (2^2)^{98} = 2^{2 \cdot 98} = 2^{196}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$2^{96} + 2^{200} - 2^{92} - 2^{196}$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$(2^{96} - 2^{92}) + (2^{200} - 2^{196}) = 2^{92}(2^{96-92} - 1) + 2^{196}(2^{200-196} - 1)$

$ = 2^{92}(2^4 - 1) + 2^{196}(2^4 - 1)$

Вычислим значение в скобках: $2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$.

Тогда выражение принимает вид:

$2^{92} \cdot 15 + 2^{196} \cdot 15$

Вынесем общий множитель 15 за скобки:

$15 \cdot (2^{92} + 2^{196})$

Используя полученное выражение, докажем его кратность заданным числам.

1)

Необходимо доказать, что значение выражения кратно 15.

Упрощенное выражение имеет вид $15 \cdot (2^{92} + 2^{196})$. Поскольку $2^{92}$ и $2^{196}$ являются натуральными числами, их сумма $(2^{92} + 2^{196})$ также является натуральным числом. Выражение представляет собой произведение числа 15 и натурального числа, следовательно, по определению делимости, оно кратно 15.

Ответ: Доказано, что значение выражения кратно 15.

2)

Необходимо доказать, что значение выражения кратно 240.

Разложим число 240 на множители: $240 = 15 \cdot 16$.

Мы уже показали, что наше выражение равно $15 \cdot (2^{92} + 2^{196})$ и, следовательно, кратно 15. Чтобы доказать кратность 240, необходимо также доказать, что выражение кратно 16. Это означает, что множитель $(2^{92} + 2^{196})$ должен быть кратен 16.

Рассмотрим сумму $(2^{92} + 2^{196})$. Так как $16 = 2^4$, а показатели степеней 92 и 196 больше 4, то каждое слагаемое в этой сумме делится на 16.

$2^{92} = 2^4 \cdot 2^{88} = 16 \cdot 2^{88}$

$2^{196} = 2^4 \cdot 2^{192} = 16 \cdot 2^{192}$

Следовательно, их сумма также делится на 16:

$2^{92} + 2^{196} = 16 \cdot 2^{88} + 16 \cdot 2^{192} = 16 \cdot (2^{88} + 2^{192})$

Теперь подставим это в упрощенное выражение:

$15 \cdot (2^{92} + 2^{196}) = 15 \cdot [16 \cdot (2^{88} + 2^{192})] = (15 \cdot 16) \cdot (2^{88} + 2^{192}) = 240 \cdot (2^{88} + 2^{192})$

Поскольку $(2^{88} + 2^{192})$ является натуральным числом, исходное выражение представляет собой произведение числа 240 и натурального числа, а значит, оно кратно 240.

Ответ: Доказано, что значение выражения кратно 240.