Номер 994, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §25. Линейное уравнение с двумя переменными и его график - номер 994, страница 193.

Условие.

994. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, график которого пересекает оси координат в точках:

1) A $(-4; 0)$ и B $(0; 2)$;

2) C $(0; -3)$ и D $(5; 0)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) A (-4; 0) и B (0; 2)

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными, график которого пересекает оси координат в точках $(a, 0)$ и $(0, b)$, где $a \neq 0$ и $b \neq 0$, можно записать в виде уравнения прямой в отрезках:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

В данном случае график пересекает ось абсцисс (Ox) в точке A(-4; 0), следовательно, $a = -4$.

График пересекает ось ординат (Oy) в точке B(0; 2), следовательно, $b = 2$.

Подставим эти значения в формулу:

$\frac{x}{-4} + \frac{y}{2} = 1$

Чтобы привести уравнение к стандартному виду $Ax + By = C$, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, то есть на 4:

$4 \cdot (\frac{x}{-4} + \frac{y}{2}) = 4 \cdot 1$

$-\frac{4x}{4} + \frac{4y}{2} = 4$

$-x + 2y = 4$

Для удобства можно умножить уравнение на -1, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$x - 2y = -4$

Проверим, принадлежат ли точки A и B полученной прямой.

Для точки A(-4; 0): $-4 - 2 \cdot 0 = -4$, что верно.

Для точки B(0; 2): $0 - 2 \cdot 2 = -4$, что верно.

Ответ: $x - 2y = -4$

2) C (0; -3) и D (5; 0)

Воспользуемся уравнением прямой в отрезках: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$, где $a$ – абсцисса точки пересечения с осью Ox, а $b$ – ордината точки пересечения с осью Oy.

График пересекает ось Ox в точке D(5; 0), значит $a = 5$.

График пересекает ось Oy в точке C(0; -3), значит $b = -3$.

Подставляем значения $a$ и $b$ в уравнение:

$\frac{x}{5} + \frac{y}{-3} = 1$

$\frac{x}{5} - \frac{y}{3} = 1$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 3, то есть на 15:

$15 \cdot (\frac{x}{5} - \frac{y}{3}) = 15 \cdot 1$

$\frac{15x}{5} - \frac{15y}{3} = 15$

$3x - 5y = 15$

Проверим, принадлежат ли точки C и D полученной прямой.

Для точки C(0; -3): $3 \cdot 0 - 5 \cdot (-3) = 0 + 15 = 15$, что верно.

Для точки D(5; 0): $3 \cdot 5 - 5 \cdot 0 = 15 - 0 = 15$, что верно.

Ответ: $3x - 5y = 15$