Номер 997, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §25. Линейное уравнение с двумя переменными и его график - номер 997, страница 194.

Условие.

997. Составьте уравнения, графики которых изображены на рисунке 57.

Рис. 57

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

997. Для составления уравнений прямых, изображенных на рисунке, воспользуемся общим видом уравнения прямой $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – ордината точки пересечения графика с осью $y$.
1. Прямая b (зеленая):
Эта прямая параллельна оси $x$ и проходит через точку $(0; 2)$. Уравнение такой прямой имеет вид $y = c$, где $c$ – постоянная. В данном случае $c=2$.
Уравнение прямой b: $y = 2$.
2. Прямая n (синяя):
Из графика видно, что прямая проходит через точки $(0; 1)$ и $(2; 0)$.
Точка пересечения с осью $y$ – $(0; 1)$, следовательно, $b = 1$.
Угловой коэффициент $k$ найдем по двум точкам:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 1}{2 - 0} = -\frac{1}{2}$.
Уравнение прямой n: $y = -\frac{1}{2}x + 1$.
3. Прямая m (фиолетовая):
Из графика видно, что прямая проходит через точки $(0; -3)$ и $(1; 0)$.
Точка пересечения с осью $y$ – $(0; -3)$, следовательно, $b = -3$.
Угловой коэффициент $k$ найдем по двум точкам:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-3)}{1 - 0} = 3$.
Уравнение прямой m: $y = 3x - 3$.
Ответ: прямая n: $y = -\frac{1}{2}x + 1$; прямая m: $y = 3x - 3$; прямая b: $y = 2$.

998. Дано уравнение $5x - 6y = 3$. Необходимо найти количество пар простых чисел $(x; y)$, которые являются решением данного уравнения.
Выразим $5x$ из уравнения:
$5x = 6y + 3$
$5x = 3(2y + 1)$
Из полученного равенства следует, что произведение $5x$ должно быть кратно 3. Поскольку числа 5 и 3 являются взаимно простыми, то $x$ должен быть кратен 3.
Единственное простое число, которое делится на 3, это само число 3. Следовательно, $x$ может быть равен только 3.
Подставим значение $x = 3$ в исходное уравнение, чтобы найти $y$:
$5(3) - 6y = 3$
$15 - 6y = 3$
$6y = 15 - 3$
$6y = 12$
$y = \frac{12}{6} = 2$
Число 2 также является простым числом. Таким образом, мы нашли пару простых чисел $(3; 2)$, которая удовлетворяет уравнению. Поскольку значение $x$ определено однозначно ($x=3$), других решений в простых числах быть не может.
Ответ: существует одна такая пара.

999. Пусть одна бригада (вторая) изготовила $x$ деталей.
Другая бригада (первая) изготовила на 80% больше, то есть она изготовила $x + 0.8x = 1.8x$ деталей.
Вместе две бригады изготовили 840 деталей. Составим уравнение на основе этих данных:
$x + 1.8x = 840$
Решим полученное уравнение:
$2.8x = 840$
$x = \frac{840}{2.8} = \frac{8400}{28}$
$x = 300$
Итак, вторая бригада изготовила 300 деталей.
Теперь найдем, сколько деталей изготовила первая бригада:
$1.8x = 1.8 \times 300 = 540$ деталей.
Проверим: $300 + 540 = 840$. Условие выполняется.
Ответ: одна бригада изготовила 300 деталей, другая – 540 деталей.