Номер 1002, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §25. Линейное уравнение с двумя переменными и его график - номер 1002, страница 194.

Условие.

1002. Решите уравнение:

1) $(x-8)^2 - (x-4)(x+4) = 0;$

2) $(4x-5)(4x+5) - (4x-1)^2 = 9 - 2x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(x - 8)^2 - (x - 4)(x + 4) = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Раскроем скобки в левой части уравнения, применяя указанные формулы:

Первое слагаемое: $(x - 8)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = x^2 - 16x + 64$.

Второе слагаемое: $(x - 4)(x + 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x^2 - 16x + 64) - (x^2 - 16) = 0$

Теперь раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок изменятся на противоположные:

$x^2 - 16x + 64 - x^2 + 16 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) - 16x + (64 + 16) = 0$

$-16x + 80 = 0$

Перенесем число 80 в правую часть уравнения, изменив его знак:

$-16x = -80$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-16$:

$x = \frac{-80}{-16}$

$x = 5$

Ответ: 5

2) $(4x - 5)(4x + 5) - (4x - 1)^2 = 9 - 2x$

В левой части уравнения также применим формулы сокращенного умножения: разность квадратов и квадрат разности.

Первое слагаемое (разность квадратов): $(4x - 5)(4x + 5) = (4x)^2 - 5^2 = 16x^2 - 25$.

Второе слагаемое (квадрат разности): $(4x - 1)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = 16x^2 - 8x + 1$.

Подставим раскрытые скобки в уравнение:

$(16x^2 - 25) - (16x^2 - 8x + 1) = 9 - 2x$

Раскроем скобки в левой части, учитывая знак минус перед второй скобкой:

$16x^2 - 25 - 16x^2 + 8x - 1 = 9 - 2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(16x^2 - 16x^2) + 8x + (-25 - 1) = 9 - 2x$

$8x - 26 = 9 - 2x$

Теперь соберем все слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а все постоянные — в правой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$8x + 2x = 9 + 26$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$10x = 35$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 10:

$x = \frac{35}{10}$

$x = 3,5$

Ответ: 3,5