Номер 1005, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §25. Линейное уравнение с двумя переменными и его график - номер 1005, страница 194.

Условие.

1005. На рисунке 58 изображены графики уравнений $y = x^2$ и $x - y + 2 = 0$. Пользуясь этим рисунком, найдите все пары чисел, являющиеся решениями каждого из данных уравнений.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1002.

1) $(x - 8)^2 - (x - 4)(x + 4) = 0$
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2) - (x^2 - 4^2) = 0$
$x^2 - 16x + 64 - (x^2 - 16) = 0$
$x^2 - 16x + 64 - x^2 + 16 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-16x + 80 = 0$
$-16x = -80$
$x = \frac{-80}{-16}$
$x = 5$
Ответ: 5.

2) $(4x - 5)(4x + 5) - (4x - 1)^2 = 9 - 2x$
Раскроем скобки, используя формулы разности квадратов и квадрата разности:
$( (4x)^2 - 5^2 ) - ( (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 ) = 9 - 2x$
$(16x^2 - 25) - (16x^2 - 8x + 1) = 9 - 2x$
$16x^2 - 25 - 16x^2 + 8x - 1 = 9 - 2x$
Приведем подобные слагаемые:
$8x - 26 = 9 - 2x$
$8x + 2x = 9 + 26$
$10x = 35$
$x = \frac{35}{10} = 3,5$
Ответ: 3,5.

1003.

1) $6x^3 - 8x^2 + 3xy - 4y$
Сгруппируем слагаемые: $(6x^3 - 8x^2) + (3xy - 4y)$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$2x^2(3x - 4) + y(3x - 4)$
Теперь вынесем общий множитель $(3x - 4)$:
$(2x^2 + y)(3x - 4)$
Ответ: $(2x^2 + y)(3x - 4)$.

2) $x^4 - 6x^2y + 9y^2 - 16$
Первые три слагаемых образуют полный квадрат разности: $(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 3y + (3y)^2 = (x^2 - 3y)^2$.
Получаем выражение: $(x^2 - 3y)^2 - 16$.
Представим 16 как $4^2$ и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x^2 - 3y)^2 - 4^2 = (x^2 - 3y - 4)(x^2 - 3y + 4)$
Ответ: $(x^2 - 3y - 4)(x^2 - 3y + 4)$.

3) $\frac{125x^3}{27} - \frac{m^6n^9}{64}$
Представим выражение в виде разности кубов:
$(\frac{5x}{3})^3 - (\frac{m^2n^3}{4})^3$
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$:
$(\frac{5x}{3} - \frac{m^2n^3}{4})((\frac{5x}{3})^2 + \frac{5x}{3} \cdot \frac{m^2n^3}{4} + (\frac{m^2n^3}{4})^2)$
$(\frac{5x}{3} - \frac{m^2n^3}{4})(\frac{25x^2}{9} + \frac{5xm^2n^3}{12} + \frac{m^4n^6}{16})$
Ответ: $(\frac{5x}{3} - \frac{m^2n^3}{4})(\frac{25x^2}{9} + \frac{5xm^2n^3}{12} + \frac{m^4n^6}{16})$.

4) $c^2 - 2c - b^2 - 4b - 3$
Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Для этого представим $-3$ как $1 - 4$:
$(c^2 - 2c + 1) - (b^2 + 4b + 4)$
Свернем каждую группу по формуле квадрата суммы/разности:
$(c - 1)^2 - (b + 2)^2$
Применим формулу разности квадратов:
$((c - 1) - (b + 2))((c - 1) + (b + 2))$
$(c - 1 - b - 2)(c - 1 + b + 2)$
$(c - b - 3)(c + b + 1)$
Ответ: $(c - b - 3)(c + b + 1)$.

1004.

Необходимо проверить, какая из предложенных пар чисел является решением для обоих уравнений: $x^2 + y^2 = 18$ и $x + y = 0$.
1. Проверим пару (3; 3):
$3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$ (верно для первого уравнения)
$3 + 3 = 6 \neq 0$ (неверно для второго уравнения)
Пара (3; 3) не является решением.
2. Проверим пару (–3; 3):
$(-3)^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$ (верно для первого уравнения)
$-3 + 3 = 0$ (верно для второго уравнения)
Пара (–3; 3) является решением.
3. Проверим пару (–3; –3):
$(-3)^2 + (-3)^2 = 9 + 9 = 18$ (верно для первого уравнения)
$-3 + (-3) = -6 \neq 0$ (неверно для второго уравнения)
Пара (–3; –3) не является решением.
Ответ: (–3; 3).

1005.

Решениями системы уравнений $y = x^2$ и $x - y + 2 = 0$ являются координаты точек пересечения их графиков. На рисунке 58 изображены парабола ($y = x^2$) и прямая (которую можно представить как $y = x + 2$).
По графику видно, что у них две точки пересечения. Найдем их координаты:
1. Первая точка пересечения имеет координаты $x = -1$, $y = 1$.
2. Вторая точка пересечения имеет координаты $x = 2$, $y = 4$.
Пары чисел, являющиеся решениями каждого из данных уравнений, это (–1; 1) и (2; 4).
Ответ: (–1; 1), (2; 4).