Номер 6, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Вопросы к параграфу 26 - номер 6, страница 199.

Условие.

6. Каково взаимное расположение прямых, являющихся графиками двух линейных уравнений с двумя переменными, составляющих систему уравнений, если:

1) система имеет единственное решение;

2) система не имеет решений;

3) система имеет бесконечно много решений?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

1) система имеет единственное решение;

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными — это пара значений $(x, y)$, которая удовлетворяет обоим уравнениям. Геометрически, каждое такое уравнение представляет собой прямую на плоскости, а решение системы — это точка пересечения этих прямых. Если система имеет единственное решение, это означает, что существует только одна пара $(x, y)$, являющаяся решением. Геометрически это соответствует ситуации, когда графики уравнений (прямые) имеют ровно одну общую точку. Две прямые на плоскости пересекаются в одной точке только в том случае, если они не параллельны. Условием пересечения прямых, заданных уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, является неравенство их угловых коэффициентов: $k_1 \neq k_2$. Для системы вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ это условие эквивалентно $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.
Ответ: Прямые пересекаются в одной точке.

2) система не имеет решений;

Если система уравнений не имеет решений, это означает, что не существует ни одной пары значений $(x, y)$, которая бы удовлетворяла обоим уравнениям одновременно. В геометрической интерпретации это означает, что у прямых, являющихся графиками этих уравнений, нет ни одной общей точки. Две прямые на плоскости не имеют общих точек только в том случае, если они параллельны и не совпадают. Условием параллельности прямых, заданных уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, является равенство их угловых коэффициентов ($k_1 = k_2$) и неравенство свободных членов ($b_1 \neq b_2$). Для системы в общем виде это условие записывается как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.
Ответ: Прямые параллельны.

3) система имеет бесконечно много решений?

Если система уравнений имеет бесконечно много решений, это означает, что любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая одному уравнению, удовлетворяет и второму. Геометрически это означает, что каждая точка одной прямой принадлежит и другой прямой. Такое возможно только в том случае, когда две прямые совпадают, то есть представляют собой одну и ту же прямую. Условием совпадения прямых, заданных уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, является одновременное равенство их угловых коэффициентов ($k_1 = k_2$) и свободных членов ($b_1 = b_2$). Для системы в общем виде это означает, что коэффициенты одного уравнения пропорциональны коэффициентам другого: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
Ответ: Прямые совпадают.