Номер 5, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Вопросы к параграфу 26 - номер 5, страница 199.

Условие.

5. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$ имеет общий вид:
$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$
Каждое такое уравнение геометрически представляет собой прямую на координатной плоскости. Решением системы является точка (или точки) пересечения этих прямых. В зависимости от их взаимного расположения, возможны три случая.

Система имеет одно решение

Это происходит, когда прямые, соответствующие уравнениям, пересекаются в одной точке. Координаты этой точки и являются единственным решением системы. Алгебраически это условие выполняется, когда отношение коэффициентов при переменных $x$ и $y$ не равны.
Условие: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
Ответ: одно решение.

Система не имеет решений

Это происходит, когда прямые параллельны и не совпадают. Так как параллельные прямые никогда не пересекаются, у системы нет общих точек, а значит, и нет решений. Алгебраически это условие выполняется, когда отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов.
Условие: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
Ответ: нет решений.

Система имеет бесконечно много решений

Это происходит, когда прямые, соответствующие уравнениям, совпадают. В этом случае каждая точка одной прямой является и точкой другой прямой. Так как на прямой бесконечно много точек, система имеет бесконечное множество решений. Алгебраически это означает, что коэффициенты одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам другого.
Условие: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
Ответ: бесконечно много решений.