Номер 1006, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §25. Линейное уравнение с двумя переменными и его график - номер 1006, страница 194.

Условие.

1006. Сумма 100 разных натуральных чисел равна 5051. Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения этой задачи найдем минимально возможную сумму 100 различных натуральных чисел. Чтобы сумма была минимальной, нужно взять самые маленькие натуральные числа, то есть первые 100 натуральных чисел: 1, 2, 3, ..., 100.

Сумма этих чисел представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, где первый член $a_1 = 1$, последний член $a_{100} = 100$, а количество членов $n=100$. Сумма вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Подставим наши значения:

$S_{100} = \frac{100(1 + 100)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 50 \cdot 101 = 5050$.

Итак, минимально возможная сумма 100 различных натуральных чисел равна 5050.

По условию задачи, сумма равна 5051. Сравним эту сумму с минимальной:

$5051 - 5050 = 1$.

Это означает, что искомый набор чисел очень близок к набору {1, 2, 3, ..., 100}, а его сумма больше на 1. Чтобы получить искомый набор, мы должны изменить базовый набор {1, 2, ..., 100} так, чтобы сумма увеличилась на 1, при этом сохранив количество чисел (100) и их уникальность.

Самый простой способ — увеличить одно из чисел на 1. Пусть мы берем число $k$ из набора {1, 2, ..., 100} и заменяем его на $k+1$. Чтобы новый набор чисел состоял из различных чисел, число $k+1$ не должно уже присутствовать среди остальных 99 чисел. Если мы выберем любое число $k$ в диапазоне от 1 до 99, то число $k+1$ уже будет в исходном наборе (например, если мы заменим 50 на 51, то в наборе окажется два числа 51), что противоречит условию.

Единственный случай, когда это сработает, — если мы выберем самое большое число, $k=100$. Тогда мы заменяем 100 на $100+1=101$. Новый набор чисел будет {1, 2, 3, ..., 99, 101}.

Проверим этот набор. Он состоит из 100 различных натуральных чисел. Сумма этих чисел равна сумме исходного набора минус 100 плюс 101, то есть $5050 - 100 + 101 = 5051$. Все условия задачи выполнены. Можно строго доказать, что это решение единственное.

Ответ: искомые числа — это все натуральные числа от 1 до 99 включительно и число 101, то есть набор {1, 2, 3, ..., 99, 101}.