Номер 1017, страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными - номер 1017, страница 201.

Условие.

1017. Имеет ли решение система уравнений:

1) $\begin{cases}x - y = 4, \\3x - 3y = 6;\end{cases}$

2) $\begin{cases}x - 1.5y = -4, \\3y - 2x = 8;\end{cases}$

3) $\begin{cases}9x + 9y = 18, \\x + y = 2?\end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x - y = 4, \\ 3x - 3y = 6. \end{cases} $

Чтобы определить, имеет ли система решение, можно использовать метод подстановки. Выразим переменную $x$ из первого уравнения:

$x = 4 + y$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$3(4 + y) - 3y = 6$

Раскроем скобки:

$12 + 3y - 3y = 6$

Приведем подобные слагаемые:

$12 = 6$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что система уравнений несовместна, то есть не имеет решений. Геометрически это означает, что графики уравнений — это две параллельные прямые, которые никогда не пересекаются.

Ответ: система не имеет решений.

2) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x - 1,5y = -4, \\ 3y - 2x = 8. \end{cases} $

Приведем второе уравнение к стандартному виду, поменяв слагаемые местами, чтобы переменные $x$ и $y$ стояли в том же порядке, что и в первом уравнении:

$-2x + 3y = 8$

Теперь решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 1,5y - 4$

Подставим это выражение во второе уравнение (в его стандартной форме):

$-2(1,5y - 4) + 3y = 8$

Раскроем скобки:

$-3y + 8 + 3y = 8$

Приведем подобные слагаемые:

$8 = 8$

Мы получили верное числовое равенство (тождество). Это означает, что уравнения в системе являются зависимыми, и система имеет бесконечное множество решений. Любая пара чисел, удовлетворяющая одному уравнению, будет удовлетворять и другому. Так как система имеет решения (бесконечно много), то ответ на вопрос "имеет ли решение" — да.

Ответ: система имеет решение.

3) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 9x + 9y = 18, \\ x + y = 2. \end{cases} $

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 9:

$\frac{9x + 9y}{9} = \frac{18}{9}$

$x + y = 2$

После упрощения система принимает вид:

$ \begin{cases} x + y = 2, \\ x + y = 2. \end{cases} $

Оба уравнения в системе идентичны. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений (любая пара чисел $(x, y)$, сумма которых равна 2, является решением). Поскольку решения существуют, ответ на вопрос "имеет ли решение" — да.

Ответ: система имеет решение.