Номер 1044, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §27. Решение систем линейных уравнений методом подстановки - номер 1044, страница 206.

Условие.

1044. Найдите три последние цифры значения выражения $2376^3 + 1624^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы найти три последние цифры значения выражения $2376^3 + 1624^3$, нам необходимо найти остаток от деления этого выражения на 1000. Это эквивалентно нахождению значения выражения по модулю 1000.

Запишем искомое значение как $N = 2376^3 + 1624^3$. Мы ищем $N \pmod{1000}$.

Сначала упростим основания степеней, взяв их по модулю 1000:

$2376 = 2 \cdot 1000 + 376 \Rightarrow 2376 \equiv 376 \pmod{1000}$

$1624 = 1 \cdot 1000 + 624 \Rightarrow 1624 \equiv 624 \pmod{1000}$

Следовательно, исходное выражение сравнимо со следующим:

$N \equiv 376^3 + 624^3 \pmod{1000}$

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Пусть $a = 376$ и $b = 624$. Найдем их сумму:

$a+b = 376 + 624 = 1000$

Теперь подставим это в разложение на множители:

$376^3 + 624^3 = (376+624)(376^2 - 376 \cdot 624 + 624^2)$

$376^3 + 624^3 = 1000 \cdot (376^2 - 376 \cdot 624 + 624^2)$

Так как один из множителей в произведении равен 1000, все выражение делится на 1000 нацело. Это означает, что остаток от деления на 1000 равен 0.

$1000 \cdot (376^2 - 376 \cdot 624 + 624^2) \equiv 0 \pmod{1000}$

Таким образом, три последние цифры значения выражения $2376^3 + 1624^3$ являются нулями.

Ответ: 000.