Номер 1, страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. Вопросы к параграфу 11 - номер 1, страница 76.

Условие.

Как умножить многочлен на многочлен?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член (одночлен) одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Правило в общем виде

Если даны два многочлена, например, $(a + b)$ и $(c + d)$, их произведение находится следующим образом:

$(a + b) \cdot (c + d) = a \cdot (c + d) + b \cdot (c + d) = ac + ad + bc + bd$

Этот процесс основан на распределительном свойстве умножения.

Алгоритм умножения

1. Каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена.
2. Сложить полученные произведения (учитывая знаки).
3. Привести подобные слагаемые в получившемся многочлене (то есть сложить или вычесть члены с одинаковой буквенной частью и степенью).

Пример 1

Найти произведение многочленов $(3x + 2)$ и $(x - 5)$.

1. Умножаем первый член первого многочлена ($3x$) на каждый член второго:

$3x \cdot x = 3x^2$

$3x \cdot (-5) = -15x$

2. Умножаем второй член первого многочлена ($2$) на каждый член второго:

$2 \cdot x = 2x$

$2 \cdot (-5) = -10$

3. Складываем все полученные результаты:

$(3x + 2)(x - 5) = 3x^2 - 15x + 2x - 10$

4. Приводим подобные слагаемые ($-15x$ и $2x$):

$-15x + 2x = -13x$

5. Записываем итоговый многочлен:

$3x^2 - 13x - 10$

Ответ: $3x^2 - 13x - 10$

Пример 2

Найти произведение многочленов $(a^2 - 2a + 4)$ и $(a + 2)$.

Применим правило: каждый член первого многочлена умножим на каждый член второго.

$(a^2 - 2a + 4)(a + 2) = a^2 \cdot (a + 2) - 2a \cdot (a + 2) + 4 \cdot (a + 2)$

Раскроем скобки:

$= (a^2 \cdot a + a^2 \cdot 2) - (2a \cdot a + 2a \cdot 2) + (4 \cdot a + 4 \cdot 2)$

$= a^3 + 2a^2 - 2a^2 - 4a + 4a + 8$

Приведем подобные слагаемые:

$2a^2 - 2a^2 = 0$

$-4a + 4a = 0$

Запишем конечный результат, убрав члены, равные нулю:

$a^3 + 8$

Ответ: $a^3 + 8$