Номер 391, страница 74 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §10. Умножение одночлена на многочлен - номер 391, страница 74.

Условие.

391. В волейбольном турнире, проходившем в один круг (то есть каждая команда сыграла с каждой один раз), 20 % всех команд не выиграли ни одной игры. Сколько команд участвовало в этом турнире? ($em{Примечание}$. В волейболе «ничьих» не бывает, обязательно одна команда выигрывает, а другая проигрывает.)

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $n$ — общее количество команд, участвовавших в турнире.

По условию, 20% всех команд не выиграли ни одной игры. Обозначим количество таких команд через $k$. Тогда $k = 0,2 \cdot n = \frac{n}{5}$. Поскольку количество команд $k$ должно быть целым числом, общее количество команд $n$ должно быть кратно 5.

Рассмотрим группу из $k$ команд, которые не выиграли ни одной игры. Турнир проходил в один круг, что означает, что каждая команда сыграла с каждой другой командой один раз.

Предположим, что в этой группе было две или более команды (то есть $k \ge 2$). Тогда любые две команды из этой группы должны были сыграть между собой. В волейболе не бывает ничьих, поэтому в матче между этими двумя командами одна из них обязательно одержала бы победу. Но это противоречит условию, что команды из этой группы не выиграли ни одной игры.

Следовательно, наше предположение о том, что $k \ge 2$, неверно. Это означает, что количество команд, не выигравших ни одной игры, не может быть больше одной. То есть $k \le 1$.

В то же время, по условию 20% команд не выиграли, значит, такие команды есть, то есть $k > 0$. Так как $k$ — целое число, то $k \ge 1$.

Из двух неравенств $k \le 1$ и $k \ge 1$ следует, что $k = 1$.

Теперь, зная $k$, мы можем найти общее количество команд $n$ из формулы $k = \frac{n}{5}$:
$1 = \frac{n}{5}$
$n = 5$

Таким образом, в турнире участвовало 5 команд.

Проверим: если команд 5, то 20% от 5 — это $5 \cdot 0,2 = 1$ команда. Эта одна команда проиграла всем остальным четырем командам. Каждая из этих четырех команд выиграла как минимум одну игру (у проигравшей команды). Такая ситуация возможна и не содержит противоречий.

Ответ: 5.