Номер 384, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §10. Умножение одночлена на многочлен - номер 384, страница 73.

Условие.

384. Остаток при делении натурального числа $a$ на 3 равен 1, а остаток при делении натурального числа $b$ на 9 равен 7. Докажите, что значение выражения $4a + 2b$ делится нацело на 8.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

По условию, остаток при делении натурального числа $a$ на 3 равен 1. Это означает, что число $a$ можно представить в виде:

$a = 3k + 1$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число.

Также по условию, остаток при делении натурального числа $b$ на 9 равен 7. Это означает, что число $b$ можно представить в виде:

$b = 9m + 7$, где $m$ — некоторое целое неотрицательное число.

Теперь подставим эти выражения для $a$ и $b$ в заданное выражение $4a + 2b$:

$4a + 2b = 4(3k + 1) + 2(9m + 7)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$4(3k + 1) + 2(9m + 7) = 12k + 4 + 18m + 14$

Сгруппируем слагаемые:

$12k + 18m + (4 + 14) = 12k + 18m + 18$

Чтобы доказать, что полученное выражение делится нацело на 3, вынесем общий множитель 3 за скобки:

$12k + 18m + 18 = 3(4k + 6m + 6)$

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то и выражение в скобках $(4k + 6m + 6)$ также является целым числом. Обозначим это целое число буквой $N$, то есть $N = 4k + 6m + 6$.

Тогда выражение $4a + 2b$ можно записать как $3N$.

По определению, если число можно представить в виде произведения числа 3 и некоторого целого числа, то оно делится на 3 без остатка. Следовательно, значение выражения $4a + 2b$ делится нацело на 3, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.