Номер 383, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §10. Умножение одночлена на многочлен - номер 383, страница 73.

Условие.

383. Упростите выражение:

1) $x^n(x^{n+1} + 2x) + x(3x^n - x^{2n+3});$

2) $x(4x^{n+1} + 2x^{n+4} - 7) - x^{n+2}(4 + 2x^3 - x^n),$

где $n$ – натуральное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы упростить выражение $x^n(x^{n+4} + 2x) + x(3x^n - x^{2n+3})$, раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения и правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$).
Сначала раскроем первую скобку:
$x^n(x^{n+4} + 2x) = x^n \cdot x^{n+4} + x^n \cdot 2x = x^{n+(n+4)} + 2x^{n+1} = x^{2n+4} + 2x^{n+1}$.
Теперь раскроем вторую скобку:
$x(3x^n - x^{2n+3}) = x \cdot 3x^n - x \cdot x^{2n+3} = 3x^{1+n} - x^{1+(2n+3)} = 3x^{n+1} - x^{2n+4}$.
Теперь сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:
$(x^{2n+4} + 2x^{n+1}) + (3x^{n+1} - x^{2n+4}) = x^{2n+4} + 2x^{n+1} + 3x^{n+1} - x^{2n+4} = (x^{2n+4} - x^{2n+4}) + (2x^{n+1} + 3x^{n+1}) = 0 + 5x^{n+1} = 5x^{n+1}$.
Ответ: $5x^{n+1}$

2) Упростим выражение $x(4x^{n+1} + 2x^{n+4} - 7) - x^{n+2}(4 + 2x^3 - x^n)$.
Раскроем первые скобки:
$x(4x^{n+1} + 2x^{n+4} - 7) = x \cdot 4x^{n+1} + x \cdot 2x^{n+4} - x \cdot 7 = 4x^{1+(n+1)} + 2x^{1+(n+4)} - 7x = 4x^{n+2} + 2x^{n+5} - 7x$.
Раскроем вторые скобки, обращая внимание на знак минус перед множителем:
$-x^{n+2}(4 + 2x^3 - x^n) = -x^{n+2} \cdot 4 - x^{n+2} \cdot 2x^3 - x^{n+2} \cdot (-x^n) = -4x^{n+2} - 2x^{(n+2)+3} + x^{(n+2)+n} = -4x^{n+2} - 2x^{n+5} + x^{2n+2}$.
Теперь объединим результаты и приведем подобные слагаемые:
$(4x^{n+2} + 2x^{n+5} - 7x) + (-4x^{n+2} - 2x^{n+5} + x^{2n+2}) = 4x^{n+2} + 2x^{n+5} - 7x - 4x^{n+2} - 2x^{n+5} + x^{2n+2} = (4x^{n+2} - 4x^{n+2}) + (2x^{n+5} - 2x^{n+5}) - 7x + x^{2n+2} = 0 + 0 - 7x + x^{2n+2} = x^{2n+2} - 7x$.
Ответ: $x^{2n+2} - 7x$