Номер 382, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §10. Умножение одночлена на многочлен - номер 382, страница 73.

Условие.

382. Упростите выражение:

1) $x^{n+1}(x^{n+6} - 1) - x^{n+2}(x^{n+5} - x^3)$;

2) $x^{n+2}(x^2 - 3) - x^n(x^{n+2} - 3x^2 - 1)$,

где $n$ – натуральное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $x^{n+1}(x^{n+6} - 1) - x^{n+2}(x^{n+5} - x^3)$

Для упрощения данного выражения необходимо раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые. При раскрытии скобок будем использовать свойство степеней: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.

1. Раскроем первую скобку:

$x^{n+1}(x^{n+6} - 1) = x^{n+1} \cdot x^{n+6} - x^{n+1} \cdot 1 = x^{(n+1)+(n+6)} - x^{n+1} = x^{2n+7} - x^{n+1}$

2. Раскроем вторую скобку, учитывая знак минус перед ней:

$-x^{n+2}(x^{n+5} - x^3) = - (x^{n+2} \cdot x^{n+5} - x^{n+2} \cdot x^3) = -(x^{(n+2)+(n+5)} - x^{(n+2)+3}) = -(x^{2n+7} - x^{n+5}) = -x^{2n+7} + x^{n+5}$

3. Теперь сложим полученные выражения:

$(x^{2n+7} - x^{n+1}) + (-x^{2n+7} + x^{n+5}) = x^{2n+7} - x^{n+1} - x^{2n+7} + x^{n+5}$

4. Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $x^{2n+7}$ и $-x^{2n+7}$ взаимно уничтожаются:

$(x^{2n+7} - x^{2n+7}) + x^{n+5} - x^{n+1} = 0 + x^{n+5} - x^{n+1} = x^{n+5} - x^{n+1}$

Ответ: $x^{n+5} - x^{n+1}$

2) $x^{n+2}(x^2 - 3) - x^n(x^{n+2} - 3x^2 - 1)$

Упростим выражение, действуя по аналогии с предыдущим пунктом.

1. Раскроем первую скобку:

$x^{n+2}(x^2 - 3) = x^{n+2} \cdot x^2 - x^{n+2} \cdot 3 = x^{(n+2)+2} - 3x^{n+2} = x^{n+4} - 3x^{n+2}$

2. Раскроем вторую скобку:

$-x^n(x^{n+2} - 3x^2 - 1) = -(x^n \cdot x^{n+2} - x^n \cdot 3x^2 - x^n \cdot 1) = -(x^{n+n+2} - 3x^{n+2} - x^n) = -x^{2n+2} + 3x^{n+2} + x^n$

3. Сложим полученные выражения:

$(x^{n+4} - 3x^{n+2}) + (-x^{2n+2} + 3x^{n+2} + x^n) = x^{n+4} - 3x^{n+2} - x^{2n+2} + 3x^{n+2} + x^n$

4. Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-3x^{n+2}$ и $3x^{n+2}$ взаимно уничтожаются:

$x^{n+4} - x^{2n+2} + x^n + (-3x^{n+2} + 3x^{n+2}) = x^{n+4} - x^{2n+2} + x^n$

Ответ: $x^{n+4} - x^{2n+2} + x^n$