Номер 379, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §10. Умножение одночлена на многочлен - номер 379, страница 73.

Условие.

379. Ширина прямоугольника на 8 см меньше его длины. Если длину прямоугольника увеличить на 6 см, то его площадь увеличится на 72 $\text{см}^2$. Найдите периметр данного прямоугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть длина исходного прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, ширина на 8 см меньше длины, следовательно, ширина прямоугольника составляет $(x - 8)$ см.

Площадь исходного прямоугольника ($S_1$) вычисляется как произведение его длины и ширины:

$S_1 = x \cdot (x - 8)$

Затем длину прямоугольника увеличили на 6 см. Новая длина стала равной $(x + 6)$ см. Ширина при этом не изменилась и осталась $(x - 8)$ см. Новая площадь ($S_2$) будет равна:

$S_2 = (x + 6) \cdot (x - 8)$

Известно, что новая площадь на 72 см$^2$ больше исходной, то есть $S_2 = S_1 + 72$. Составим и решим уравнение:

$(x + 6)(x - 8) = x(x - 8) + 72$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 - 8x + 6x - 48 = x^2 - 8x + 72$

$x^2 - 2x - 48 = x^2 - 8x + 72$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$x^2 - 2x - x^2 + 8x = 72 + 48$

Приведем подобные слагаемые:

$6x = 120$

$x = \frac{120}{6}$

$x = 20$

Таким образом, длина исходного прямоугольника равна 20 см.

Найдем ширину исходного прямоугольника:

$20 - 8 = 12$ см.

Теперь найдем периметр данного прямоугольника ($P$) по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина:

$P = 2(20 + 12) = 2 \cdot 32 = 64$ см.

Ответ: 64 см.