Номер 372, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §10. Умножение одночлена на многочлен - номер 372, страница 72.

Условие.

372. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(x-y) \cdot * = x^2y^2 - x^3y;$

2) $(-9x^2 + *) \cdot y = * + y^4;$

3) $(1,4x - *) \cdot 3x = * - 0,6x^3;$

4) $*(* - x^2y^5 + 5y^6) = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - *.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(x - y) \cdot * = x^2y^2 - x^3y$

Чтобы найти неизвестный множитель (обозначенный звёздочкой), необходимо произведение разделить на известный множитель. Пусть неизвестный одночлен равен $A$.

$A = \frac{x^2y^2 - x^3y}{x - y}$

В числителе вынесем за скобки общий множитель $x^2y$:

$A = \frac{x^2y(y - x)}{x - y}$

Поскольку $y - x = -(x - y)$, мы можем переписать выражение:

$A = \frac{x^2y \cdot (-(x - y))}{x - y} = -x^2y$

Проверка: $(x - y) \cdot (-x^2y) = x \cdot (-x^2y) - y \cdot (-x^2y) = -x^3y + x^2y^2$, что соответствует правой части исходного тождества.

Ответ: $-x^2y$.

2) $(-9x^2 + *) \cdot y = * + y^4$

Обозначим первую звёздочку как $A$, а вторую как $B$. Уравнение примет вид: $(-9x^2 + A) \cdot y = B + y^4$.

Раскроем скобки в левой части:

$-9x^2 \cdot y + A \cdot y = B + y^4$

$-9x^2y + Ay = B + y^4$

Чтобы равенство было тождеством, соответствующие одночлены в обеих частях должны быть равны. Член $y^4$ в правой части может быть получен только из произведения $Ay$. Следовательно:

$Ay = y^4$

Отсюда находим $A$:

$A = \frac{y^4}{y} = y^3$

Теперь подставим $A=y^3$ в уравнение и найдём $B$:

$-9x^2y + y^3 \cdot y = B + y^4$

$-9x^2y + y^4 = B + y^4$

Сравнивая левую и правую части, получаем $B = -9x^2y$.

Ответ: первая звёздочка – $y^3$, вторая звёздочка – $-9x^2y$.

3) $(1,4x - *) \cdot 3x = * - 0,6x^3$

Обозначим звёздочки как $A$ и $B$ соответственно: $(1,4x - A) \cdot 3x = B - 0,6x^3$.

Раскроем скобки в левой части:

$1,4x \cdot 3x - A \cdot 3x = B - 0,6x^3$

$4,2x^2 - 3Ax = B - 0,6x^3$

В этом тождестве член $-0,6x^3$ в правой части должен соответствовать члену, полученному из произведения $-3Ax$. Значит:

$-3Ax = -0,6x^3$

Находим $A$:

$A = \frac{-0,6x^3}{-3x} = 0,2x^2$

Подставим найденное значение $A$ обратно в уравнение, чтобы найти $B$:

$4,2x^2 - 3 \cdot (0,2x^2) \cdot x = B - 0,6x^3$

$4,2x^2 - 0,6x^3 = B - 0,6x^3$

Из этого равенства следует, что $B = 4,2x^2$.

Ответ: первая звёздочка – $0,2x^2$, вторая звёздочка – $4,2x^2$.

4) $* \cdot (* - x^2y^5 + 5y^6) = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - *$

Обозначим звёздочки как $A$, $B$ и $C$ в порядке их появления: $A \cdot (B - x^2y^5 + 5y^6) = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - C$.

Раскроем скобки в левой части:

$A \cdot B - A \cdot x^2y^5 + A \cdot 5y^6 = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - C$

$AB - Ax^2y^5 + 5Ay^6 = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - C$

Сопоставим одночлены в левой и правой частях. Заметим, что в левой части есть член $5Ay^6$, а в правой $5x^3y^8$. У них одинаковый числовой коэффициент 5. Предположим, что они равны:

$5Ay^6 = 5x^3y^8$

Отсюда находим $A$:

$A = \frac{5x^3y^8}{5y^6} = x^3y^2$

Теперь подставим $A = x^3y^2$ в раскрытое уравнение:

$(x^3y^2)B - (x^3y^2)x^2y^5 + 5(x^3y^2)y^6 = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - C$

$(x^3y^2)B - x^5y^7 + 5x^3y^8 = 8x^3y^3 + 5x^3y^8 - C$

Член $5x^3y^8$ присутствует в обеих частях, поэтому его можно сократить. Остаётся:

$(x^3y^2)B - x^5y^7 = 8x^3y^3 - C$

Теперь сопоставим оставшиеся члены. Логично предположить, что $(x^3y^2)B$ соответствует $8x^3y^3$, а $-x^5y^7$ соответствует $-C$.

Из $(x^3y^2)B = 8x^3y^3$ находим $B$:

$B = \frac{8x^3y^3}{x^3y^2} = 8y$

Из $-x^5y^7 = -C$ находим $C$:

$C = x^5y^7$

Мы нашли все три одночлена.

Ответ: первая звёздочка – $x^3y^2$, вторая (в скобках) – $8y$, третья – $x^5y^7$.