Номер 371, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §10. Умножение одночлена на многочлен - номер 371, страница 72.

Условие.

371. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $*\cdot (a - b + c) = -abc + b^2c - bc^2;$

2) $*\cdot (ab - b^2) = a^3b - a^2b^2;$

3) $-3a^2(* - *) = 6a^3 + 15a^4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы найти неизвестный одночлен, который обозначен звёздочкой, нужно правую часть тождества разделить на известный множитель $(a - b + c)$.

Запишем уравнение: $* \cdot (a - b + c) = -abc + b^2c - bc^2$.

Сначала преобразуем правую часть, вынеся общий множитель за скобки. Общим множителем для всех членов в правой части является $-bc$.

$-abc + b^2c - bc^2 = -bc \cdot a - bc \cdot (-b) - bc \cdot c = -bc(a - b + c)$.

Теперь тождество выглядит так:

$* \cdot (a - b + c) = -bc(a - b + c)$.

Из этого равенства очевидно, что на месте звёздочки должен стоять одночлен $-bc$.

Проверка: $(-bc) \cdot (a - b + c) = (-bc) \cdot a + (-bc) \cdot (-b) + (-bc) \cdot c = -abc + b^2c - bc^2$. Равенство верно.

Ответ: $-bc$.

2) Исходное тождество: $* \cdot (ab - b^2) = a^3b - a^2b^2$.

Чтобы найти неизвестный множитель, разделим произведение на известный множитель:

$* = \frac{a^3b - a^2b^2}{ab - b^2}$.

Для упрощения дроби разложим на множители числитель и знаменатель, вынеся общие множители за скобки.

В числителе: $a^3b - a^2b^2 = a^2b(a - b)$.

В знаменателе: $ab - b^2 = b(a - b)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:

$* = \frac{a^2b(a - b)}{b(a - b)} = a^2$.

Таким образом, неизвестный одночлен — это $a^2$.

Проверка: $a^2 \cdot (ab - b^2) = a^2 \cdot ab - a^2 \cdot b^2 = a^3b - a^2b^2$. Равенство верно.

Ответ: $a^2$.

3) Исходное тождество: $-3a^2(* - *) = 6a^3 + 15a^4$.

Обозначим одночлены в скобках как $X$ и $Y$: $-3a^2(X - Y) = 6a^3 + 15a^4$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$-3a^2 \cdot X - (-3a^2 \cdot Y) = -3a^2X + 3a^2Y$.

Теперь приравняем полученное выражение к правой части тождества:

$-3a^2X + 3a^2Y = 6a^3 + 15a^4$.

Чтобы равенство было верным, необходимо, чтобы члены в левой и правой частях были соответственно равны. Приравняем первый член слева к первому члену справа, а второй ко второму.

1. Найдём $X$ (первая звёздочка):

$-3a^2X = 6a^3$

$X = \frac{6a^3}{-3a^2} = -2a$.

2. Найдём $Y$ (вторая звёздочка):

$3a^2Y = 15a^4$

$Y = \frac{15a^4}{3a^2} = 5a^2$.

Итак, на месте первой звёздочки должен стоять одночлен $-2a$, а на месте второй — $5a^2$.

Проверка: $-3a^2(-2a - 5a^2) = (-3a^2)(-2a) - (-3a^2)(5a^2) = 6a^3 + 15a^4$. Равенство верно.

Ответ: $-2a$ и $5a^2$.