Номер 370, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §10. Умножение одночлена на многочлен - номер 370, страница 72.

Условие.

370. Докажите, что выражение $7a^4(a+3)-a^3(21a+7a^2-3a^5)$ принимает неотрицательные значения при всех значениях $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что данное выражение принимает неотрицательные значения при всех значениях переменной $a$, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение:

$7a^4(a + 3) - a^3(21a + 7a^2 - 3a^5)$

1. Раскроем первую скобку, умножив $7a^4$ на каждый член в скобке $(a + 3)$:

$7a^4 \cdot a + 7a^4 \cdot 3 = 7a^5 + 21a^4$

2. Раскроем вторую скобку, умножив $-a^3$ на каждый член в скобке $(21a + 7a^2 - 3a^5)$:

$-a^3 \cdot 21a - a^3 \cdot 7a^2 - a^3 \cdot (-3a^5) = -21a^4 - 7a^5 + 3a^8$

3. Сложим полученные результаты:

$(7a^5 + 21a^4) + (-21a^4 - 7a^5 + 3a^8) = 7a^5 + 21a^4 - 21a^4 - 7a^5 + 3a^8$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(7a^5 - 7a^5) + (21a^4 - 21a^4) + 3a^8 = 0 + 0 + 3a^8 = 3a^8$

В результате упрощения мы получили выражение $3a^8$.

Теперь проанализируем это выражение. Переменная $a$ возводится в четную степень 8. Любое действительное число (положительное, отрицательное или ноль), возведенное в четную степень, всегда дает неотрицательный результат. То есть, $a^8 \ge 0$ при любом значении $a$.

Так как $a^8 \ge 0$, а множитель 3 — положительное число, то их произведение $3a^8$ также всегда будет неотрицательным ($3a^8 \ge 0$).

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение принимает неотрицательные значения при всех значениях $a$.

Ответ: Выражение тождественно равно $3a^8$. Поскольку $a^8$ всегда больше или равно нулю ($a^8 \ge 0$) для любого значения $a$, то и произведение $3a^8$ также всегда будет больше или равно нулю. Утверждение доказано.