Номер 365, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §10. Умножение одночлена на многочлен - номер 365, страница 72.

Условие.

365. Докажите, что если:

1) $a + b + c = 0$, то $a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = 3abc$;

2) $a^2 + b^2 = c^2$, то $c(ab - c) - b(ac - b) - a(bc - a) + abc = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Дано условие $a + b + c = 0$. Требуется доказать, что $a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = 3abc$.

Преобразуем левую часть равенства, раскрыв скобки:

$a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = abc - a + abc - b + abc - c$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

$(abc + abc + abc) + (-a - b - c) = 3abc - (a + b + c)$

Используем исходное условие $a + b + c = 0$ и подставим его в полученное выражение:

$3abc - (0) = 3abc$

В результате преобразований мы показали, что левая часть тождества равна правой части: $3abc = 3abc$. Утверждение доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2)

Дано условие $a^2 + b^2 = c^2$. Требуется доказать, что $c(ab - c) - b(ac - b) - a(bc - a) + abc = 0$.

Преобразуем левую часть равенства, раскрыв скобки:

$c(ab - c) - b(ac - b) - a(bc - a) + abc = abc - c^2 - (abc - b^2) - (abc - a^2) + abc$

$ = abc - c^2 - abc + b^2 - abc + a^2 + abc$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(abc - abc - abc + abc) + a^2 + b^2 - c^2$

Сумма слагаемых, содержащих $abc$, равна нулю: $abc - abc - abc + abc = 0$. Выражение упрощается до:

$a^2 + b^2 - c^2$

Теперь используем исходное условие $a^2 + b^2 = c^2$. Из него следует, что $a^2 + b^2 - c^2 = 0$. Подставим это значение в наше выражение:

$a^2 + b^2 - c^2 = 0$

Таким образом, левая часть равенства равна 0, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.