Номер 368, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §10. Умножение одночлена на многочлен - номер 368, страница 72.

Условие.

368. Докажите, что при любых значениях $x$ значение выражения $4(x^2 - 2x + 4) - 0.5x(6x - 16)$ является положительным числом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы доказать, что значение выражения является положительным числом при любых значениях $x$, необходимо упростить данное выражение и проанализировать результат.

Исходное выражение: $4(x^2 - 2x + 4) - 0,5x(6x - 16)$.

Сначала раскроем скобки. Для этого умножим множитель перед каждой скобкой на все слагаемые внутри нее.

$4 \cdot x^2 - 4 \cdot 2x + 4 \cdot 4 - 0,5x \cdot 6x - 0,5x \cdot (-16)$

Выполним умножение:

$4x^2 - 8x + 16 - 3x^2 + 8x$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем слагаемые с $x^2$, с $x$ и свободные члены:

$(4x^2 - 3x^2) + (-8x + 8x) + 16$

Выполним вычисления в каждой группе:

$x^2 + 0 + 16 = x^2 + 16$

Мы получили выражение $x^2 + 16$. Теперь проанализируем его значение.

Квадрат любого действительного числа $x$ всегда является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$.

Наименьшее значение, которое может принимать слагаемое $x^2$, равно 0 (это происходит при $x=0$).

Если к неотрицательному числу $x^2$ прибавить положительное число 16, результат всегда будет положительным. Более того, наименьшее значение всего выражения будет $0 + 16 = 16$.

Таким образом, для любого значения $x$ выполняется неравенство $x^2 + 16 \ge 16$. А так как $16 > 0$, то и значение выражения $x^2 + 16$ всегда является положительным числом.

Ответ: После упрощения выражение принимает вид $x^2 + 16$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то наименьшее значение выражения $x^2 + 16$ равно 16 (при $x=0$). Поскольку 16 является положительным числом, значение всего выражения всегда положительно, что и требовалось доказать.