Номер 363, страница 71 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §10. Умножение одночлена на многочлен - номер 363, страница 71.

Условие.

363. Докажите тождество:

1) $ab(b - c) + ac(c - b) - a(b^2 - 3bc + c^2) = abc;$

2) $4a(a + b) - a(3a - 4b) - 8ab = a^2;$

3) $a(a + 2b) + b(a + b) = b(2a + b) + a(a + b);$

4) $a(b + c - bc) - b(a + c - ac) = (a - b)c.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать левую часть равенства и показать, что она равна правой части. Для этого раскроем скобки и приведём подобные слагаемые в левой части выражения: $ab(b - c) + ac(c - b) - a(b^2 - 3bc + c^2) = ab^2 - abc + ac^2 - abc - (ab^2 - 3abc + ac^2) = ab^2 - abc + ac^2 - abc - ab^2 + 3abc - ac^2$. Теперь сгруппируем и упростим подобные члены: $(ab^2 - ab^2) + (ac^2 - ac^2) + (-abc - abc + 3abc) = 0 + 0 + abc = abc$. В результате преобразования левой части мы получили правую часть: $abc = abc$. Тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества. Раскроем скобки: $4a(a + b) - a(3a - 4b) - 8ab = 4a^2 + 4ab - (3a^2 - 4ab) - 8ab = 4a^2 + 4ab - 3a^2 + 4ab - 8ab$. Приведём подобные слагаемые: $(4a^2 - 3a^2) + (4ab + 4ab - 8ab) = a^2 + 8ab - 8ab = a^2$. В результате левая часть оказалась равна правой: $a^2 = a^2$. Тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства этого тождества преобразуем обе его части по отдельности. Сначала преобразуем левую часть: $a(a + 2b) + b(a + b) = a^2 + 2ab + ab + b^2 = a^2 + 3ab + b^2$. Теперь преобразуем правую часть: $b(2a + b) + a(a + b) = 2ab + b^2 + a^2 + ab = a^2 + 3ab + b^2$. Так как в результате преобразований левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению ($a^2 + 3ab + b^2$), тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть тождества, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $a(b + c - bc) - b(a + c - ac) = ab + ac - abc - (ab + bc - abc) = ab + ac - abc - ab - bc + abc$. Сгруппируем подобные члены: $(ab - ab) + (ac - bc) + (-abc + abc) = 0 + ac - bc + 0 = ac - bc$. Теперь преобразуем правую часть, также раскрыв скобки: $(a - b)c = ac - bc$. Поскольку левая и правая части равны ($ac - bc = ac - bc$), тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.