Номер 364, страница 71 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §10. Умножение одночлена на многочлен - номер 364, страница 71.

Условие.

364. Докажите тождество:

1) $a(a+b) - b(a-b) = a^2 + b^2$;

2) $b(a-b) + b(b+c) = b(a+b) - b(b-c)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Докажите тождество $a(a + b) - b(a - b) = a^2 + b^2$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки, используя распределительный закон умножения:

$a(a + b) - b(a - b) = a \cdot a + a \cdot b - (b \cdot a - b \cdot b) = a^2 + ab - ab + b^2$

Приведем подобные слагаемые в полученном выражении:

$a^2 + (ab - ab) + b^2 = a^2 + 0 + b^2 = a^2 + b^2$

В результате преобразований левая часть равенства стала равна правой части: $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажите тождество $b(a - b) + b(b + c) = b(a + b) - b(b - c)$.

Для доказательства преобразуем поочередно левую и правую части равенства и покажем, что они равны одному и тому же выражению.

Преобразуем левую часть. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$b(a - b) + b(b + c) = b \cdot a - b \cdot b + b \cdot b + b \cdot c = ab - b^2 + b^2 + bc = ab + bc$

Теперь преобразуем правую часть. Также раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$b(a + b) - b(b - c) = b \cdot a + b \cdot b - (b \cdot b - b \cdot c) = ab + b^2 - b^2 + bc = ab + bc$

Поскольку и левая, и правая части равенства равны одному и тому же выражению $ab + bc$, тождество является верным.

Ответ: тождество доказано.