Номер 369, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §10. Умножение одночлена на многочлен - номер 369, страница 72.

Условие.

369. Докажите, что выражение $3x^2(3-4x) - 6x(1,5x - 2x^2 + x^3)$ принимает неположительные значения при всех значениях x.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что выражение $3x^2(3-4x) - 6x(1.5x - 2x^2 + x^3)$ принимает неположительные значения при всех значениях $x$, необходимо его упростить.

Сначала раскроем скобки. Для этого умножим одночлены на многочлены:

$3x^2(3-4x) = 3x^2 \cdot 3 - 3x^2 \cdot 4x = 9x^2 - 12x^3$

$-6x(1.5x - 2x^2 + x^3) = -6x \cdot 1.5x - 6x \cdot (-2x^2) - 6x \cdot x^3 = -9x^2 + 12x^3 - 6x^4$

Теперь подставим полученные выражения в исходное и приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 12x^3) + (-9x^2 + 12x^3 - 6x^4) = 9x^2 - 12x^3 - 9x^2 + 12x^3 - 6x^4$

Сгруппируем подобные члены:

$(9x^2 - 9x^2) + (-12x^3 + 12x^3) - 6x^4 = 0 + 0 - 6x^4 = -6x^4$

В результате упрощения мы получили выражение $-6x^4$.

Теперь необходимо проанализировать знак этого выражения. Значение $x^4$ всегда является неотрицательным (то есть большим или равным нулю) при любом действительном значении $x$, так как любое число, возведенное в четную степень, не может быть отрицательным. Таким образом, $x^4 \ge 0$.

Далее, при умножении неотрицательного значения $x^4$ на отрицательное число $-6$, результат всегда будет неположительным (то есть меньшим или равным нулю).

Следовательно, выражение $-6x^4 \le 0$ для всех значений $x$. Это доказывает, что исходное выражение принимает неположительные значения при всех значениях $x$.

Ответ: Утверждение доказано. После упрощения выражение равно $-6x^4$, а это значение всегда неположительно (меньше или равно нулю) при любом значении $x$.