Номер 385, страница 74 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §10. Умножение одночлена на многочлен - номер 385, страница 74.

Условие.

385. Остаток при делении натурального числа $m$ на 5 равен 3, а остаток при делении натурального числа $n$ на 3 равен 2. Докажите, что значение выражения $3m + 5n$ не делится нацело на 15.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

По условию задачи, остаток при делении натурального числа $m$ на 5 равен 3. Это означает, что число $m$ можно представить в виде:

$m = 5k + 3$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число.

Также по условию, остаток при делении натурального числа $n$ на 3 равен 2. Это означает, что число $n$ можно представить в виде:

$n = 3l + 2$, где $l$ — некоторое целое неотрицательное число.

Подставим эти выражения для $m$ и $n$ в выражение $3m + 5n$, которое нам нужно исследовать:

$3m + 5n = 3(5k + 3) + 5(3l + 2)$

Раскроем скобки:

$3 \cdot 5k + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3l + 5 \cdot 2 = 15k + 9 + 15l + 10$

Сгруппируем слагаемые:

$(15k + 15l) + (9 + 10) = 15(k + l) + 19$

Чтобы определить, делится ли это выражение на 15, проанализируем его. Слагаемое $15(k + l)$ очевидно делится на 15, так как содержит множитель 15. Теперь рассмотрим второе слагаемое, 19. Число 19 можно представить как $15 + 4$.

Тогда все выражение можно переписать в виде:

$3m + 5n = 15(k + l) + 15 + 4$

Вынесем общий множитель 15 за скобки:

$3m + 5n = 15(k + l + 1) + 4$

Из полученного выражения видно, что при делении значения выражения $3m + 5n$ на 15 получается остаток 4. Для того чтобы число делилось на 15 нацело, остаток от деления должен быть равен 0. Так как остаток равен 4, то значение выражения $3m + 5n$ не делится нацело на 15.

Ответ: Утверждение доказано.