Номер 395, страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 395, страница 76.

Условие.

395. Упростите выражение:

1) $(a - 2)(a - 1) - a(a + 1);$

2) $(b - 5)(b + 10) + (b + 6)(b - 8);$

3) $(2c + 3)(3c + 2) - (2c + 7)(2c - 7);$

4) $(3d + 5)(5d - 1) - (6d - 3)(2 - 8d).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(a - 2)(a - 1) - a(a + 1)$
Для упрощения выражения сначала раскроем скобки. Первое произведение многочленов:
$(a - 2)(a - 1) = a \cdot a - a \cdot 1 - 2 \cdot a + 2 \cdot 1 = a^2 - a - 2a + 2 = a^2 - 3a + 2$.
Второе произведение:
$a(a + 1) = a \cdot a + a \cdot 1 = a^2 + a$.
Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:
$(a^2 - 3a + 2) - (a^2 + a)$.
Раскроем вторые скобки, учитывая знак минус перед ними (все знаки внутри скобок меняются на противоположные):
$a^2 - 3a + 2 - a^2 - a$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (-3a - a) + 2 = 0a^2 - 4a + 2 = -4a + 2$.
Ответ: $2 - 4a$.

2) $(b - 5)(b + 10) + (b + 6)(b - 8)$
Раскроем скобки в каждом произведении.
Первое произведение:
$(b - 5)(b + 10) = b \cdot b + 10 \cdot b - 5 \cdot b - 5 \cdot 10 = b^2 + 10b - 5b - 50 = b^2 + 5b - 50$.
Второе произведение:
$(b + 6)(b - 8) = b \cdot b - 8 \cdot b + 6 \cdot b - 6 \cdot 8 = b^2 - 8b + 6b - 48 = b^2 - 2b - 48$.
Теперь сложим полученные многочлены:
$(b^2 + 5b - 50) + (b^2 - 2b - 48)$.
Так как перед вторыми скобками стоит знак плюс, мы можем просто их убрать:
$b^2 + 5b - 50 + b^2 - 2b - 48$.
Приведем подобные слагаемые:
$(b^2 + b^2) + (5b - 2b) + (-50 - 48) = 2b^2 + 3b - 98$.
Ответ: $2b^2 + 3b - 98$.

3) $(2c + 3)(3c + 2) - (2c + 7)(2c - 7)$
Раскроем скобки. Для первого произведения:
$(2c + 3)(3c + 2) = 2c \cdot 3c + 2c \cdot 2 + 3 \cdot 3c + 3 \cdot 2 = 6c^2 + 4c + 9c + 6 = 6c^2 + 13c + 6$.
Второе произведение $(2c + 7)(2c - 7)$ представляет собой формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:
$(2c + 7)(2c - 7) = (2c)^2 - 7^2 = 4c^2 - 49$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(6c^2 + 13c + 6) - (4c^2 - 49)$.
Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$6c^2 + 13c + 6 - 4c^2 + 49$.
Приведем подобные слагаемые:
$(6c^2 - 4c^2) + 13c + (6 + 49) = 2c^2 + 13c + 55$.
Ответ: $2c^2 + 13c + 55$.

4) $(3d + 5)(5d - 1) - (6d - 3)(2 - 8d)$
Раскроем скобки в каждом произведении.
Первое произведение:
$(3d + 5)(5d - 1) = 3d \cdot 5d - 3d \cdot 1 + 5 \cdot 5d - 5 \cdot 1 = 15d^2 - 3d + 25d - 5 = 15d^2 + 22d - 5$.
Второе произведение:
$(6d - 3)(2 - 8d) = 6d \cdot 2 - 6d \cdot 8d - 3 \cdot 2 - 3 \cdot (-8d) = 12d - 48d^2 - 6 + 24d = -48d^2 + 36d - 6$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(15d^2 + 22d - 5) - (-48d^2 + 36d - 6)$.
Раскроем вторые скобки, изменив все знаки внутри них на противоположные:
$15d^2 + 22d - 5 + 48d^2 - 36d + 6$.
Приведем подобные слагаемые:
$(15d^2 + 48d^2) + (22d - 36d) + (-5 + 6) = 63d^2 - 14d + 1$.
Ответ: $63d^2 - 14d + 1$.