Номер 400, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 400, страница 77.

Условие.

400. Выполните умножение:

1) $(x+2)(x-1)(x-4);$

2) $(2x+1)(x+5)(x-6);$

3) $(x^2-2x+3)(x^2+2x-3);$

4) $(a+2b-c)(a-3b+2c);$

5) $(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3);$

6) $(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(x+2)(x-1)(x-4)$

Чтобы найти произведение трех многочленов, сначала перемножим первые два, а затем результат умножим на третий.

Шаг 1: Умножим $(x+2)$ на $(x-1)$.

$(x+2)(x-1) = x \cdot x - x \cdot 1 + 2 \cdot x - 2 \cdot 1 = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$

Шаг 2: Умножим полученный многочлен $(x^2 + x - 2)$ на $(x-4)$.

$(x^2 + x - 2)(x-4) = x^2(x-4) + x(x-4) - 2(x-4) = x^3 - 4x^2 + x^2 - 4x - 2x + 8$

Шаг 3: Приведем подобные слагаемые.

$x^3 + (-4x^2 + x^2) + (-4x - 2x) + 8 = x^3 - 3x^2 - 6x + 8$

Ответ: $x^3 - 3x^2 - 6x + 8$

2) $(2x+1)(x+5)(x-6)$

Действуем аналогично предыдущему примеру.

Шаг 1: Умножим $(2x+1)$ на $(x+5)$.

$(2x+1)(x+5) = 2x \cdot x + 2x \cdot 5 + 1 \cdot x + 1 \cdot 5 = 2x^2 + 10x + x + 5 = 2x^2 + 11x + 5$

Шаг 2: Умножим полученный многочлен $(2x^2 + 11x + 5)$ на $(x-6)$.

$(2x^2 + 11x + 5)(x-6) = 2x^2(x-6) + 11x(x-6) + 5(x-6) = 2x^3 - 12x^2 + 11x^2 - 66x + 5x - 30$

Шаг 3: Приведем подобные слагаемые.

$2x^3 + (-12x^2 + 11x^2) + (-66x + 5x) - 30 = 2x^3 - x^2 - 61x - 30$

Ответ: $2x^3 - x^2 - 61x - 30$

3) $(x^2-2x+3)(x^2+2x-3)$

В этом выражении можно заметить возможность применения формулы разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. Для этого сгруппируем слагаемые.

$(x^2 - (2x - 3))(x^2 + (2x - 3))$

Здесь $a = x^2$ и $b = (2x - 3)$. Применим формулу:

$(x^2)^2 - (2x - 3)^2 = x^4 - ( (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 ) = x^4 - (4x^2 - 12x + 9)$

Раскроем скобки:

$x^4 - 4x^2 + 12x - 9$

Альтернативная группировка:

$((x^2+3) - 2x)((x^2-3) + 2x)$ - эта группировка неверна. Правильная группировка: $((x^2 - 3) - 2x)$ и $((x^2 - 3) + 2x)$ не соответствует исходному выражению. Сгруппируем иначе:

$(x^2 - 2x + 3)(x^2 + 2x - 3) = (x^2 - (2x - 3))(x^2 + (2x - 3))$. Ой, в первом слагаемом $x^2 + 3$, а во втором $x^2 - 3$. Попробуем так:

$((x^2+3) - 2x)((x^2-3) + 2x)$ - нет, это не то. Давайте попробуем $((x^2-2x)+3)((x^2+2x)-3)$.

Давайте выполним прямое умножение, чтобы избежать путаницы.

$(x^2-2x+3)(x^2+2x-3) = x^2(x^2+2x-3) - 2x(x^2+2x-3) + 3(x^2+2x-3)$

$= (x^4+2x^3-3x^2) - (2x^3+4x^2-6x) + (3x^2+6x-9)$

$= x^4+2x^3-3x^2 - 2x^3-4x^2+6x + 3x^2+6x-9$

Приведем подобные слагаемые:

$x^4 + (2x^3 - 2x^3) + (-3x^2 - 4x^2 + 3x^2) + (6x + 6x) - 9 = x^4 - 4x^2 + 12x - 9$

Ответ: $x^4 - 4x^2 + 12x - 9$

4) $(a+2b-c)(a-3b+2c)$

Выполним умножение "каждый на каждый".

$a(a-3b+2c) + 2b(a-3b+2c) - c(a-3b+2c)$

$= (a^2 - 3ab + 2ac) + (2ab - 6b^2 + 4bc) - (ac - 3bc + 2c^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$a^2 - 3ab + 2ac + 2ab - 6b^2 + 4bc - ac + 3bc - 2c^2$

$= a^2 - 6b^2 - 2c^2 + (-3ab + 2ab) + (2ac - ac) + (4bc + 3bc)$

$= a^2 - 6b^2 - 2c^2 - ab + ac + 7bc$

Ответ: $a^2 - ab + ac - 6b^2 + 7bc - 2c^2$

5) $(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3)$

Это выражение не является стандартной формулой суммы или разности кубов, но напоминает формулу для разности четвертых степеней. Выполним прямое умножение.

$a(a^3-a^2b+ab^2-b^3) + b(a^3-a^2b+ab^2-b^3)$

$= (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3) + (a^3b - a^2b^2 + ab^3 - b^4)$

Сгруппируем и сократим подобные члены.

$a^4 + (-a^3b + a^3b) + (a^2b^2 - a^2b^2) + (-ab^3 + ab^3) - b^4$

$= a^4 + 0 + 0 + 0 - b^4 = a^4 - b^4$

Ответ: $a^4 - b^4$

6) $(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$

Это выражение является классическим примером формулы разности степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + b^{n-1})$.

В нашем случае $a=x$, $b=1$ и $n=5$.

$(x-1)(x^4 + x^3 \cdot 1 + x^2 \cdot 1^2 + x \cdot 1^3 + 1^4) = x^5 - 1^5 = x^5 - 1$

Проверим результат прямым умножением:

$x(x^4+x^3+x^2+x+1) - 1(x^4+x^3+x^2+x+1)$

$= (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x) - (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

$= x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x - x^4 - x^3 - x^2 - x - 1$

Все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$x^5 + (x^4-x^4) + (x^3-x^3) + (x^2-x^2) + (x-x) - 1 = x^5 - 1$

Ответ: $x^5 - 1$