Номер 404, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 404, страница 77.

Условие.

404. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения $(x - 3)(x^2 + 7) - (x - 2)(x^2 - x + 5)$ равно –11.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы доказать, что значение выражения $(x - 3)(x^2 + 7) - (x - 2)(x^2 - x + 5)$ равно -11 при любом значении переменной, нужно это выражение упростить.

Сначала раскроем скобки в каждом произведении, умножая каждый член одного многочлена на каждый член другого.

1. Преобразуем первое произведение:

$(x - 3)(x^2 + 7) = x \cdot x^2 + x \cdot 7 - 3 \cdot x^2 - 3 \cdot 7 = x^3 + 7x - 3x^2 - 21$.

2. Преобразуем второе произведение:

$(x - 2)(x^2 - x + 5) = x \cdot x^2 + x \cdot (-x) + x \cdot 5 - 2 \cdot x^2 - 2 \cdot (-x) - 2 \cdot 5 = x^3 - x^2 + 5x - 2x^2 + 2x - 10$.

Приведем подобные слагаемые в полученном выражении:

$x^3 + (-x^2 - 2x^2) + (5x + 2x) - 10 = x^3 - 3x^2 + 7x - 10$.

3. Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(x^3 - 3x^2 + 7x - 21) - (x^3 - 3x^2 + 7x - 10)$.

4. Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «минус», знаки всех слагаемых в ней меняются на противоположные:

$x^3 - 3x^2 + 7x - 21 - x^3 + 3x^2 - 7x + 10$.

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + (-3x^2 + 3x^2) + (7x - 7x) + (-21 + 10) = 0 + 0 + 0 - 11 = -11$.

В результате упрощения мы получили число -11. Это значение является константой и не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: при любом значении переменной значение выражения равно -11, что и требовалось доказать.