Номер 402, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 402, страница 77.

Условие.

402. Замените степень произведением, а затем произведение преобразуйте в многочлен:

1) $(a+5)^2$;

2) $(4-3b)^2$;

3) $(a+b+c)^2$;

4) $(a-b)^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Заменим степень произведением, как того требует условие задачи:
$(a + 5)^2 = (a + 5)(a + 5)$
Далее, преобразуем полученное произведение в многочлен. Для этого умножим каждый член первого многочлена (в первой скобке) на каждый член второго многочлена (во второй скобке):
$(a + 5)(a + 5) = a \cdot a + a \cdot 5 + 5 \cdot a + 5 \cdot 5 = a^2 + 5a + 5a + 25$
Приведем подобные члены ($5a$ и $5a$):
$a^2 + (5a + 5a) + 25 = a^2 + 10a + 25$
Ответ: $a^2 + 10a + 25$

2)

Заменим степень произведением:
$(4 - 3b)^2 = (4 - 3b)(4 - 3b)$
Преобразуем произведение в многочлен, перемножив скобки:
$(4 - 3b)(4 - 3b) = 4 \cdot 4 + 4 \cdot (-3b) - 3b \cdot 4 + (-3b) \cdot (-3b) = 16 - 12b - 12b + 9b^2$
Приведем подобные члены ($-12b$ и $-12b$):
$16 - (12b + 12b) + 9b^2 = 16 - 24b + 9b^2$
Для стандартного вида многочлена запишем его члены в порядке убывания степеней переменной $b$:
$9b^2 - 24b + 16$
Ответ: $9b^2 - 24b + 16$

3)

Заменим степень произведением:
$(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c)$
Преобразуем произведение в многочлен. Умножим каждый член из первой скобки на каждый член из второй:
$(a + b + c)(a + b + c) = a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c) = a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + c^2$
Сгруппируем и приведем подобные члены, помня, что от перестановки множителей произведение не меняется ($ab = ba$, $ac = ca$, $bc = cb$):
$a^2 + b^2 + c^2 + (ab + ba) + (ac + ca) + (bc + cb) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$
Ответ: $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

4)

Заменим степень произведением:
$(a - b)^3 = (a - b)(a - b)(a - b)$
Выполним умножение пошагово. Сначала перемножим первые две скобки:
$(a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Теперь умножим полученный результат на оставшийся множитель $(a - b)$:
$(a^2 - 2ab + b^2)(a - b) = a^2(a - b) - 2ab(a - b) + b^2(a - b) = a^3 - a^2b - 2a^2b + 2ab^2 + b^2a - b^3$
Приведем подобные члены ($-a^2b$ и $-2a^2b$; $2ab^2$ и $b^2a$):
$a^3 + (-a^2b - 2a^2b) + (2ab^2 + ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Ответ: $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$