Номер 403, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 403, страница 77.

Условие.

403. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения $(x + 3)(x^2 - 4x + 7) - (x^2 - 5)(x - 1)$ равно 16.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы доказать утверждение, необходимо упростить данное выражение и показать, что его значение не зависит от переменной $x$.

Исходное выражение: $(x + 3)(x^2 - 4x + 7) - (x^2 - 5)(x - 1)$.

Выполним преобразования по частям.

1. Раскроем скобки в первом произведении многочленов:
$(x + 3)(x^2 - 4x + 7) = x \cdot x^2 + x \cdot (-4x) + x \cdot 7 + 3 \cdot x^2 + 3 \cdot (-4x) + 3 \cdot 7 =$
$= x^3 - 4x^2 + 7x + 3x^2 - 12x + 21$.
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (-4x^2 + 3x^2) + (7x - 12x) + 21 = x^3 - x^2 - 5x + 21$.

2. Раскроем скобки во втором произведении многочленов:
$(x^2 - 5)(x - 1) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-1) - 5 \cdot x - 5 \cdot (-1) = x^3 - x^2 - 5x + 5$.

3. Подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:
$(x^3 - x^2 - 5x + 21) - (x^3 - x^2 - 5x + 5)$.
Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:
$x^3 - x^2 - 5x + 21 - x^3 + x^2 + 5x - 5$.

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^3 - x^3) + (-x^2 + x^2) + (-5x + 5x) + (21 - 5) = 0 + 0 + 0 + 16 = 16$.

В результате упрощения мы получили число 16. Это означает, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной $x$ и всегда равно 16, что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения при любом значении переменной равно 16.