Номер 405, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 405, страница 77.

Условие.

405. Задумали четыре натуральных числа. Второе число на 1 больше первого, третье – на 5 больше второго, а четвёртое – на 2 больше третьего. Найдите эти числа, если отношение первого числа к третьему равно отношению второго числа к четвёртому.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть первое задуманное натуральное число равно $x$.

Согласно условию задачи, выразим остальные три числа через $x$:

• Второе число на 1 больше первого: $x + 1$.
• Третье число на 5 больше второго: $(x + 1) + 5 = x + 6$.
• Четвёртое число на 2 больше третьего: $(x + 6) + 2 = x + 8$.

Известно, что отношение первого числа к третьему равно отношению второго числа к четвёртому. Составим уравнение на основе этой пропорции:

$\frac{x}{x + 6} = \frac{x + 1}{x + 8}$

Для решения уравнения воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$x \cdot (x + 8) = (x + 1) \cdot (x + 6)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + 8x = x^2 + 6x + x + 6$

Упростим правую часть:

$x^2 + 8x = x^2 + 7x + 6$

Вычтем $x^2$ из обеих частей:

$8x = 7x + 6$

Перенесём слагаемое $7x$ в левую часть с противоположным знаком:

$8x - 7x = 6$

$x = 6$

Мы нашли первое число. Теперь найдём остальные:

• Первое число: $x = 6$.
• Второе число: $x + 1 = 6 + 1 = 7$.
• Третье число: $x + 6 = 6 + 6 = 12$.
• Четвёртое число: $x + 8 = 6 + 8 = 14$.

Проверим, выполняется ли условие пропорции для найденных чисел:

$\frac{6}{12} = \frac{7}{14}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Равенство верное. Все найденные числа являются натуральными.

Ответ: 6, 7, 12, 14.