Номер 412, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 412, страница 78.

Условие.

412. Докажите тождество:

1) $x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)$;

2) $y^2(y - 7)(y + 2) = y^4 - 5y^3 - 14y^2$;

3) $a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$;

4) $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1) = a^4 - 1$;

5) $(a^4 - a^2 + 1)(a^4 + a^2 + 1) = a^8 + a^4 + 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для доказательства тождества раскроем скобки в правой части выражения, используя правило умножения многочленов.

$(x - 1)(x - 7) = x \cdot x + x \cdot (-7) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-7) = x^2 - 7x - x + 7$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 7x - x + 7 = x^2 - 8x + 7$

В результате преобразования правая часть стала равна левой: $x^2 - 8x + 7 = x^2 - 8x + 7$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства преобразуем левую часть тождества. Сначала перемножим многочлены в скобках.

$(y - 7)(y + 2) = y \cdot y + y \cdot 2 - 7 \cdot y - 7 \cdot 2 = y^2 + 2y - 7y - 14 = y^2 - 5y - 14$

Теперь умножим полученное выражение на $y^2$:

$y^2(y^2 - 5y - 14) = y^2 \cdot y^2 - y^2 \cdot 5y - y^2 \cdot 14 = y^4 - 5y^3 - 14y^2$

В результате преобразования левая часть стала равна правой: $y^4 - 5y^3 - 14y^2 = y^4 - 5y^3 - 14y^2$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства раскроем скобки в правой части. Данное равенство является формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a=a$ и $b=2$.

Проверим это путем перемножения многочленов:

$(a - 2)(a^2 + 2a + 4) = a \cdot (a^2 + 2a + 4) - 2 \cdot (a^2 + 2a + 4)$

$= a^3 + 2a^2 + 4a - 2a^2 - 4a - 8$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (2a^2 - 2a^2) + (4a - 4a) - 8 = a^3 - 8$

В результате преобразования правая часть стала равна левой: $a^3 - 8 = a^3 - 8$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть тождества. Последовательно применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Сначала применим ее к первым двум множителям:

$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$

Теперь левая часть выражения выглядит так: $(a^2 - 1)(a^2 + 1)$.

Снова применим формулу разности квадратов, где $x = a^2$ и $y = 1$:

$(a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$

В результате преобразования левая часть стала равна правой: $a^4 - 1 = a^4 - 1$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5) Для доказательства преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы применить формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

$(a^4 - a^2 + 1)(a^4 + a^2 + 1) = ((a^4 + 1) - a^2)((a^4 + 1) + a^2)$

Применим формулу разности квадратов, где $x = a^4 + 1$ и $y = a^2$:

$((a^4 + 1) - a^2)((a^4 + 1) + a^2) = (a^4 + 1)^2 - (a^2)^2$

Теперь раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата суммы $(u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$:

$(a^4 + 1)^2 - (a^2)^2 = ((a^4)^2 + 2 \cdot a^4 \cdot 1 + 1^2) - a^4 = (a^8 + 2a^4 + 1) - a^4$

Приведем подобные слагаемые:

$a^8 + 2a^4 + 1 - a^4 = a^8 + a^4 + 1$

В результате преобразования левая часть стала равна правой: $a^8 + a^4 + 1 = a^8 + a^4 + 1$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.