Номер 416, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 416, страница 78.

Условие.

416. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(a-2)(*+6) = a^2 + * - *;$

2) $(2a+7)(a-*) = * + * - 14.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Дано тождество: $(a - 2)(* + 6) = a^2 + * - *$.
Правая часть является квадратным трёхчленом, старший член которого $a^2$. Он получается путём перемножения первых членов в скобках слева. Поскольку первый член в первой скобке равен $a$, то первый член во второй скобке (первая звёздочка) тоже должен быть $a$.
Подставим $a$ и раскроем скобки:
$(a - 2)(a + 6) = a \cdot a + a \cdot 6 - 2 \cdot a - 2 \cdot 6 = a^2 + 6a - 2a - 12$.
Приведём подобные слагаемые:
$a^2 + 4a - 12$.
Сравнивая результат с правой частью $a^2 + * - *$, находим, что вторая звёздочка — это $4a$, а третья — $12$.
В итоге получаем тождество: $(a - 2)(a + 6) = a^2 + 4a - 12$.
Ответ: $(a - 2)(a + 6) = a^2 + 4a - 12$.

2) Дано тождество: $(2a + 7)(a - *) = * + * - 14$.
Рассмотрим свободный член (не зависящий от $a$) в правой части, он равен $-14$. Этот член получается при перемножении вторых членов в скобках слева: $7$ и $(-*)$.
Составим уравнение: $7 \cdot (-*) = -14$.
Отсюда находим, что звёздочка в скобках равна $2$.
Подставим $2$ и раскроем скобки:
$(2a + 7)(a - 2) = 2a \cdot a + 2a \cdot (-2) + 7 \cdot a + 7 \cdot (-2) = 2a^2 - 4a + 7a - 14$.
Приведём подобные слагаемые:
$2a^2 + 3a - 14$.
Сравнивая результат с правой частью $* + * - 14$, находим, что первые две звёздочки — это $2a^2$ и $3a$.
В итоге получаем тождество: $(2a + 7)(a - 2) = 2a^2 + 3a - 14$.
Ответ: $(2a + 7)(a - 2) = 2a^2 + 3a - 14$.