Номер 420, страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 420, страница 79.

Условие.

420. Докажите, что значение выражения $ab \cdot ba - ab$ делится нацело на 10 независимо от значений a и b.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Обозначение $\overline{ab}$ представляет собой двузначное число, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Алгебраически это число можно записать как $\overline{ab} = 10a + b$. Аналогично, число $\overline{ba}$ записывается как $\overline{ba} = 10b + a$. Выражение $ab$ без черты сверху означает произведение цифр $a$ и $b$, то есть $a \cdot b$.

Запишем исходное выражение $\overline{ab} \cdot \overline{ba} - ab$, подставив в него алгебраические представления чисел:$(10a + b) \cdot (10b + a) - ab$

Теперь раскроем скобки, перемножив двучлены:$(10a + b)(10b + a) = 10a \cdot 10b + 10a \cdot a + b \cdot 10b + b \cdot a = 100ab + 10a^2 + 10b^2 + ab$

Сгруппируем подобные слагаемые:$100ab + ab + 10a^2 + 10b^2 = 101ab + 10a^2 + 10b^2$

Подставим результат обратно в исходное выражение и упростим его:$(101ab + 10a^2 + 10b^2) - ab = 100ab + 10a^2 + 10b^2$

В полученном выражении вынесем за скобки общий множитель 10:$10(10ab + a^2 + b^2)$

Поскольку $a$ и $b$ являются цифрами (то есть целыми числами), то выражение в скобках $(10ab + a^2 + b^2)$ также всегда будет целым числом. Произведение любого целого числа на 10 делится на 10 без остатка. Следовательно, значение исходного выражения всегда делится нацело на 10, независимо от значений цифр $a$ и $b$.

Ответ: Утверждение доказано.