Номер 424, страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 424, страница 79.

Условие.

424. Докажите, что если $ab + bc + ac = 0$, то $(a - b)(a - c) + (b - c)(b - a) + (c - a)(c - b) = a^2 + b^2 + c^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы доказать данное равенство, необходимо преобразовать его левую часть, используя алгебраические операции.

Левая часть равенства: $(a - b)(a - c) + (b - c)(b - a) + (c - a)(c - b)$.

Шаг 1: Раскроем скобки в каждом из трех слагаемых.

Первое слагаемое: $(a - b)(a - c) = a^2 - ac - ab + bc$.

Второе слагаемое: $(b - c)(b - a) = b^2 - ab - bc + ac$.

Третье слагаемое: $(c - a)(c - b) = c^2 - bc - ac + ab$.

Шаг 2: Сложим полученные выражения.

$(a^2 - ac - ab + bc) + (b^2 - ab - bc + ac) + (c^2 - bc - ac + ab)$

Шаг 3: Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$a^2 + b^2 + c^2 + (-ab - ab + ab) + (bc - bc - bc) + (-ac + ac - ac) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac$.

Шаг 4: Преобразуем полученное выражение, вынеся знак минус за скобки у последних трех слагаемых.

$a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ac)$

Шаг 5: Используем данное в условии равенство $ab + bc + ac = 0$. Подставим $0$ вместо выражения в скобках.

$a^2 + b^2 + c^2 - (0) = a^2 + b^2 + c^2$

Таким образом, мы преобразовали левую часть исходного равенства и получили его правую часть. Это доказывает, что равенство верно при заданном условии.

Ответ: Равенство доказано.