Номер 423, страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 423, страница 79.

Условие.

423. Остаток при делении натурального числа $m$ на $11$ равен $9$, а остаток при делении натурального числа $n$ на $11$ равен $5$. Докажите, что остаток при делении произведения чисел $m$ и $n$ на $11$ равен $1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

По условию задачи, остаток при делении натурального числа $m$ на 11 равен 9. Согласно определению деления с остатком, это означает, что число $m$ можно представить в виде:

$m = 11k + 9$, где $k$ — некоторое неотрицательное целое число (неполное частное).

Аналогично, остаток при делении натурального числа $n$ на 11 равен 5. Это означает, что число $n$ можно представить в виде:

$n = 11l + 5$, где $l$ — некоторое неотрицательное целое число (неполное частное).

Чтобы найти остаток от деления произведения $mn$ на 11, перемножим эти два выражения:

$mn = (11k + 9)(11l + 5)$

Раскроем скобки:

$mn = 11k \cdot 11l + 11k \cdot 5 + 9 \cdot 11l + 9 \cdot 5$

$mn = 121kl + 55k + 99l + 45$

Сгруппируем слагаемые, которые делятся на 11. У первых трех слагаемых вынесем общий множитель 11 за скобки:

$mn = 11(11kl + 5k + 9l) + 45$

Выражение в скобках $11kl + 5k + 9l$ является целым числом. Это означает, что первое слагаемое $11(11kl + 5k + 9l)$ делится на 11 без остатка. Следовательно, остаток от деления всего произведения $mn$ на 11 будет равен остатку от деления числа 45 на 11.

Найдем остаток от деления 45 на 11:

$45 = 4 \cdot 11 + 1$

Остаток равен 1. Таким образом, мы можем переписать выражение для произведения $mn$:

$mn = 11(11kl + 5k + 9l) + (4 \cdot 11 + 1)$

$mn = 11(11kl + 5k + 9l + 4) + 1$

Это выражение показывает, что при делении произведения $mn$ на 11 получается некоторое целое частное $(11kl + 5k + 9l + 4)$ и остаток 1. Что и требовалось доказать.

Ответ: Остаток при делении произведения чисел $m$ и $n$ на 11 равен 1.