Номер 428, страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 428, страница 79.

Условие.

428. Докажите тождество:

1) $18^{16n} = 12^{8n} \cdot 9^{12n}$,

2) $75^{8n} = 225^{4n} \cdot 625^{2n}$,

где $n$ — натуральное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $18^{16n} = 12^{8n} \cdot 9^{12n}$

Для доказательства тождества преобразуем левую и правую части равенства, приведя их к одинаковому виду. Для этого разложим основания степеней на простые множители и воспользуемся свойствами степеней: $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$ и $(a^m)^k = a^{mk}$.

Разложим основания на простые множители: $18 = 2 \cdot 3^2$; $12 = 2^2 \cdot 3$; $9 = 3^2$.

Преобразуем левую часть равенства:

$18^{16n} = (2 \cdot 3^2)^{16n} = 2^{16n} \cdot (3^2)^{16n} = 2^{16n} \cdot 3^{2 \cdot 16n} = 2^{16n} \cdot 3^{32n}$.

Преобразуем правую часть равенства:

$12^{8n} \cdot 9^{12n} = (2^2 \cdot 3)^{8n} \cdot (3^2)^{12n} = (2^{2 \cdot 8n} \cdot 3^{8n}) \cdot 3^{2 \cdot 12n} = 2^{16n} \cdot 3^{8n} \cdot 3^{24n} = 2^{16n} \cdot 3^{8n+24n} = 2^{16n} \cdot 3^{32n}$.

Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению $2^{16n} \cdot 3^{32n}$, тождество является верным.

Ответ: тождество доказано.

2) $75^{8n} = 225^{4n} \cdot 625^{2n}$

Для доказательства этого тождества применим тот же метод: разложим основания степеней на простые множители и упростим обе части выражения.

Разложим основания на простые множители: $75 = 3 \cdot 5^2$; $225 = 15^2 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2$; $625 = 25^2 = (5^2)^2 = 5^4$.

Преобразуем левую часть равенства:

$75^{8n} = (3 \cdot 5^2)^{8n} = 3^{8n} \cdot (5^2)^{8n} = 3^{8n} \cdot 5^{2 \cdot 8n} = 3^{8n} \cdot 5^{16n}$.

Преобразуем правую часть равенства:

$225^{4n} \cdot 625^{2n} = (3^2 \cdot 5^2)^{4n} \cdot (5^4)^{2n} = (3^{2 \cdot 4n} \cdot 5^{2 \cdot 4n}) \cdot 5^{4 \cdot 2n} = 3^{8n} \cdot 5^{8n} \cdot 5^{8n} = 3^{8n} \cdot 5^{8n+8n} = 3^{8n} \cdot 5^{16n}$.

Левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению $3^{8n} \cdot 5^{16n}$, следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.