Номер 1, страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. Вопросы к параграфу 12 - номер 1, страница 82.

Условие.

1. Поясните, что называют разложением многочлена на множители.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

1.

Разложением многочлена на множители называют тождественное преобразование, в результате которого многочлен, представляющий собой сумму одночленов, превращается в произведение нескольких многочленов (или одночлена и многочлена). Этот процесс является обратным действию умножения многочленов.

Цель разложения — представить многочлен в виде, удобном для дальнейших преобразований, таких как сокращение дробей, или для решения уравнений. Если многочлен $P(x)$ представлен в виде произведения $P_1(x) \cdot P_2(x) \cdot \ldots \cdot P_n(x)$, то говорят, что он разложен на множители $P_1(x), P_2(x), \ldots, P_n(x)$.

Рассмотрим на примере. Пусть дан многочлен $5a^2b - 10ab^2$. Изначально он представляет собой разность (алгебраическую сумму) двух одночленов.

Чтобы разложить его на множители, можно вынести за скобки общий множитель. Общим множителем для $5a^2b$ и $10ab^2$ является $5ab$.

$5a^2b - 10ab^2 = 5ab \cdot a - 5ab \cdot 2b = 5ab(a - 2b)$

В результате мы представили исходный многочлен в виде произведения одночлена $5ab$ и двучлена $(a - 2b)$. Это и есть разложение на множители.

Другой пример — использование формул сокращенного умножения. Многочлен $x^2 - 16$ можно разложить, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$

Здесь многочлен $x^2 - 16$ представлен в виде произведения двух многочленов $(x - 4)$ и $(x + 4)$.

Ответ: Разложение многочлена на множители — это его представление в виде произведения двух или нескольких многочленов.