Номер 432, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 432, страница 80.

Условие.

432. В каждой клетке доски размером $5 \times 5$ клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Да, обязательно останется пустая клетка. Докажем это с помощью метода раскраски.

1. Раскрасим доску размером $5 \times 5$ в шахматном порядке. Общее количество клеток равно $5 \times 5 = 25$. Так как общее число клеток нечетное, количество клеток одного цвета будет больше, чем другого.

Допустим, угловая клетка (и, соответственно, все угловые) — белая. Тогда на доске будет:

• 13 белых клеток
• 12 черных клеток

2. Изначально в каждой из 25 клеток сидит по одному жуку. Значит, 13 жуков сидят на белых клетках, а 12 жуков — на черных.

3. По условию, каждый жук переползает на соседнюю по горизонтали или вертикали клетку. При таком перемещении жук всегда меняет цвет клетки: с белой на черную и с черной на белую.

4. Следовательно, после перемещения:

• 13 жуков, сидевших на белых клетках, переместятся на черные клетки.
• 12 жуков, сидевших на черных клетках, переместятся на белые клетки.

5. Теперь проанализируем итоговое расположение жуков. Все 13 белых клеток должны быть заняты жуками, пришедшими с черных клеток. Но таких жуков всего 12. Согласно принципу Дирихле, если 12 жуков должны занять 13 клеток, то как минимум одна из этих 13 белых клеток останется пустой.

Таким образом, после перемещения всех жуков на доске обязательно останется как минимум одна пустая клетка.

Ответ: Да, обязательно.