Номер 433, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 433, страница 83.

Условие.

433. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $am + an;$

2) $6x - 6y;$

3) $4b + 16c;$

4) $12x - 15y;$

5) $-cx - cy;$

6) $4bk + 4bt;$

7) $-8a - 18b;$

8) $ax + a;$

9) $7c - 7;$

10) $24x + 30y;$

11) $10mx - 15my;$

12) $x^2 + xy;$

13) $3d^2 - 3cd;$

14) $4a^2 + 16ab;$

15) $a^6 - a^3;$

16) $b^2 + b^8;$

17) $7p^3 - 5p;$

18) $15c^2d - 3cd;$

19) $14x^2y + 21xy^2;$

20) $-2x^9 + 16x^6;$

21) $8a^4b^2 - 36a^3b^7.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) В выражении $am + an$ оба слагаемых $am$ и $an$ содержат общий множитель $a$. Вынесение общего множителя за скобки — это, по сути, применение распределительного закона в обратном порядке: $a \cdot m + a \cdot n = a(m+n)$. Чтобы найти выражение в скобках, нужно каждое слагаемое исходного выражения разделить на общий множитель: $am \div a = m$ и $an \div a = n$. Таким образом, получаем $a(m+n)$.
Ответ: $a(m+n)$

2) В выражении $6x - 6y$ оба слагаемых $6x$ и $-6y$ имеют общий числовой коэффициент $6$. Вынесем его за скобки: $6x \div 6 = x$ и $-6y \div 6 = -y$. В результате получаем $6(x-y)$.
Ответ: $6(x-y)$

3) В выражении $4b + 16c$ найдем наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $4$ и $16$. НОД(4, 16) = 4. Это и будет общий числовой множитель. Выносим $4$ за скобки: $4b \div 4 = b$ и $16c \div 4 = 4c$. Результат: $4(b+4c)$.
Ответ: $4(b+4c)$

4) В выражении $12x - 15y$ найдем НОД коэффициентов $12$ и $15$. Разложим на простые множители: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$. НОД(12, 15) = 3. Выносим $3$ за скобки: $12x \div 3 = 4x$ и $-15y \div 3 = -5y$. Результат: $3(4x-5y)$.
Ответ: $3(4x-5y)$

5) В выражении $-cx - cy$ оба слагаемых содержат общий множитель $-c$. Вынесем его за скобки: $-cx \div (-c) = x$ и $-cy \div (-c) = y$. В результате получаем $-c(x+y)$.
Ответ: $-c(x+y)$

6) В выражении $4bk + 4bt$ общий множитель состоит из числового коэффициента $4$ и переменной $b$. Таким образом, общий множитель равен $4b$. Вынесем его за скобки: $4bk \div (4b) = k$ и $4bt \div (4b) = t$. Получаем $4b(k+t)$.
Ответ: $4b(k+t)$

7) В выражении $-8a - 18b$ найдем НОД для модулей коэффициентов $8$ и $18$. НОД(8, 18) = 2. Поскольку оба слагаемых отрицательные, удобно вынести за скобки $-2$. Делим каждое слагаемое на $-2$: $-8a \div (-2) = 4a$ и $-18b \div (-2) = 9b$. Получаем $-2(4a+9b)$.
Ответ: $-2(4a+9b)$

8) В выражении $ax + a$ общий множитель — это переменная $a$. Важно помнить, что второе слагаемое $a$ можно представить как $a \cdot 1$. Выносим $a$ за скобки: $ax \div a = x$ и $a \div a = 1$. Получаем $a(x+1)$.
Ответ: $a(x+1)$

9) В выражении $7c - 7$ общий множитель — это число $7$. Второе слагаемое $-7$ можно представить как $-7 \cdot 1$. Выносим $7$ за скобки: $7c \div 7 = c$ и $-7 \div 7 = -1$. Получаем $7(c-1)$.
Ответ: $7(c-1)$

10) В выражении $24x + 30y$ найдем НОД коэффициентов $24$ и $30$. $24 = 2^3 \cdot 3$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. НОД(24, 30) = $2 \cdot 3 = 6$. Выносим $6$ за скобки: $24x \div 6 = 4x$ и $30y \div 6 = 5y$. Получаем $6(4x+5y)$.
Ответ: $6(4x+5y)$

11) В выражении $10mx - 15my$ общий множитель состоит из числовой и буквенной частей. НОД(10, 15) = 5. Общая переменная — $m$. Значит, общий множитель — $5m$. Выносим его за скобки: $10mx \div (5m) = 2x$ и $-15my \div (5m) = -3y$. Получаем $5m(2x-3y)$.
Ответ: $5m(2x-3y)$

12) В выражении $x^2 + xy$ представим $x^2$ как $x \cdot x$. Общий множитель для слагаемых $x \cdot x$ и $xy$ — это $x$. Выносим $x$ за скобки: $x^2 \div x = x$ и $xy \div x = y$. Получаем $x(x+y)$.
Ответ: $x(x+y)$

13) В выражении $3d^2 - 3cd$ общий числовой множитель равен $3$, а общая переменная — $d$. Таким образом, общий множитель — $3d$. Выносим его за скобки: $3d^2 \div (3d) = d$ и $-3cd \div (3d) = -c$. Получаем $3d(d-c)$.
Ответ: $3d(d-c)$

14) В выражении $4a^2 + 16ab$ находим общий множитель. Для коэффициентов НОД(4, 16) = 4. Для переменных общим множителем является $a$ в наименьшей степени, то есть $a^1=a$. Итоговый общий множитель — $4a$. Выносим его за скобки: $4a^2 \div (4a) = a$ и $16ab \div (4a) = 4b$. Получаем $4a(a+4b)$.
Ответ: $4a(a+4b)$

15) В выражении $a^6 - a^3$ общий множитель — это переменная $a$ в наименьшей из представленных степеней, то есть $a^3$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. Выносим $a^3$ за скобки: $a^6 \div a^3 = a^{6-3} = a^3$ и $-a^3 \div a^3 = -1$. Получаем $a^3(a^3-1)$.
Ответ: $a^3(a^3-1)$

16) В выражении $b^2 + b^8$ общий множитель — это переменная $b$ в наименьшей степени, то есть $b^2$. Выносим $b^2$ за скобки: $b^2 \div b^2 = 1$ и $b^8 \div b^2 = b^{8-2} = b^6$. Получаем $b^2(1+b^6)$.
Ответ: $b^2(1+b^6)$

17) В выражении $7p^3 - 5p$ общий множитель — это переменная $p$. Коэффициенты $7$ и $5$ взаимно простые. Выносим $p$ за скобки: $7p^3 \div p = 7p^{3-1} = 7p^2$ и $-5p \div p = -5$. Получаем $p(7p^2-5)$.
Ответ: $p(7p^2-5)$

18) В выражении $15c^2d - 3cd$ находим общий множитель. Для коэффициентов НОД(15, 3) = 3. Для переменных общим множителем является произведение переменных в наименьших степенях: $c^1$ и $d^1$. Итоговый общий множитель — $3cd$. Выносим его за скобки: $15c^2d \div (3cd) = 5c$ и $-3cd \div (3cd) = -1$. Получаем $3cd(5c-1)$.
Ответ: $3cd(5c-1)$

19) В выражении $14x^2y + 21xy^2$ находим общий множитель. НОД(14, 21) = 7. Общие переменные — $x$ и $y$ в наименьших степенях, то есть $x^1$ и $y^1$. Общий множитель — $7xy$. Выносим его за скобки: $14x^2y \div (7xy) = 2x$ и $21xy^2 \div (7xy) = 3y$. Получаем $7xy(2x+3y)$.
Ответ: $7xy(2x+3y)$

20) В выражении $-2x^9 + 16x^6$ находим общий множитель. НОД(2, 16) = 2. Общая переменная — $x$ в наименьшей степени, то есть $x^6$. Общий множитель — $2x^6$. Выносим его за скобки: $-2x^9 \div (2x^6) = -x^{9-6} = -x^3$ и $16x^6 \div (2x^6) = 8$. Получаем $2x^6(-x^3+8)$, что для удобства можно записать как $2x^6(8-x^3)$.
Ответ: $2x^6(8-x^3)$

21) В выражении $8a^4b^2 - 36a^3b^7$ находим общий множитель. НОД(8, 36) = 4. Общая переменная $a$ в наименьшей степени — $a^3$. Общая переменная $b$ в наименьшей степени — $b^2$. Общий множитель — $4a^3b^2$. Выносим его за скобки: $8a^4b^2 \div (4a^3b^2) = 2a^{4-3}b^{2-2} = 2a$ и $-36a^3b^7 \div (4a^3b^2) = -9a^{3-3}b^{7-2} = -9b^5$. Получаем $4a^3b^2(2a-9b^5)$.
Ответ: $4a^3b^2(2a-9b^5)$