Номер 434, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 434, страница 83.

Условие.

434. Разложите на множители:

1) $3a + 6b$;

2) $12m - 16n$;

3) $10ck - 15cp$;

4) $8ax + 8a$;

5) $5b - 25bc$;

6) $14x^2 + 7x$;

7) $n^{10} - n^5$;

8) $m^6 + m^7$;

9) $9x - 27x^4$;

10) $18y^5 + 12y^4$;

11) $56a^{10}b^6 - 32a^4b^8$;

12) $36mn^5 + 63m^2n^6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы разложить на множители выражение $3a + 6b$, найдем общий множитель для обоих слагаемых. Наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов 3 и 6 равен 3. Вынесем 3 за скобки:

$3a + 6b = 3 \cdot a + 3 \cdot 2b = 3(a + 2b)$.

Ответ: $3(a + 2b)$.

2) В выражении $12m - 16n$ найдем НОД коэффициентов 12 и 16. НОД(12, 16) = 4. Вынесем 4 за скобки:

$12m - 16n = 4 \cdot 3m - 4 \cdot 4n = 4(3m - 4n)$.

Ответ: $4(3m - 4n)$.

3) В выражении $10ck - 15cp$ найдем общий множитель.
НОД коэффициентов 10 и 15 равен 5.
Общая переменная для обоих слагаемых - $c$.
Вынесем за скобки общий множитель $5c$:
$10ck - 15cp = 5c \cdot 2k - 5c \cdot 3p = 5c(2k - 3p)$.

Ответ: $5c(2k - 3p)$.

4) В выражении $8ax + 8a$ общий множитель очевиден.
НОД коэффициентов 8 и 8 равен 8.
Общая переменная - $a$.
Вынесем за скобки общий множитель $8a$:
$8ax + 8a = 8a \cdot x + 8a \cdot 1 = 8a(x + 1)$.

Ответ: $8a(x + 1)$.

5) В выражении $5b - 25bc$ найдем общий множитель.
НОД коэффициентов 5 и 25 равен 5.
Общая переменная - $b$.
Вынесем за скобки общий множитель $5b$:
$5b - 25bc = 5b \cdot 1 - 5b \cdot 5c = 5b(1 - 5c)$.

Ответ: $5b(1 - 5c)$.

6) В выражении $14x^2 + 7x$ найдем общий множитель.
НОД коэффициентов 14 и 7 равен 7.
Общая переменная - $x$. Наименьшая степень переменной $x$ равна 1.
Вынесем за скобки общий множитель $7x$:
$14x^2 + 7x = 7x \cdot 2x + 7x \cdot 1 = 7x(2x + 1)$.

Ответ: $7x(2x + 1)$.

7) В выражении $n^{10} - n^5$ общим множителем является переменная $n$ в наименьшей степени, то есть $n^5$. Вынесем $n^5$ за скобки:

$n^{10} - n^5 = n^5 \cdot n^{10-5} - n^5 \cdot 1 = n^5(n^5 - 1)$.

Ответ: $n^5(n^5 - 1)$.

8) В выражении $m^6 + m^7$ общим множителем является переменная $m$ в наименьшей степени, то есть $m^6$. Вынесем $m^6$ за скобки:

$m^6 + m^7 = m^6 \cdot 1 + m^6 \cdot m^{7-6} = m^6(1 + m)$.

Ответ: $m^6(1 + m)$.

9) В выражении $9x - 27x^4$ найдем общий множитель.
НОД коэффициентов 9 и 27 равен 9.
Общая переменная - $x$ в наименьшей степени 1.
Вынесем за скобки общий множитель $9x$:
$9x - 27x^4 = 9x \cdot 1 - 9x \cdot 3x^3 = 9x(1 - 3x^3)$.

Ответ: $9x(1 - 3x^3)$.

10) В выражении $18y^5 + 12y^4$ найдем общий множитель.
НОД коэффициентов 18 и 12 равен 6.
Общая переменная - $y$ в наименьшей степени 4, то есть $y^4$.
Вынесем за скобки общий множитель $6y^4$:
$18y^5 + 12y^4 = 6y^4 \cdot 3y^{5-4} + 6y^4 \cdot 2 = 6y^4(3y + 2)$.

Ответ: $6y^4(3y + 2)$.

11) В выражении $56a^{10}b^6 - 32a^4b^8$ найдем общий множитель.
НОД коэффициентов 56 и 32 равен 8.
Для переменной $a$ наименьшая степень - $a^4$.
Для переменной $b$ наименьшая степень - $b^6$.
Общий множитель равен $8a^4b^6$. Вынесем его за скобки:
$56a^{10}b^6 - 32a^4b^8 = 8a^4b^6(7a^{10-4}b^{6-6} - 4a^{4-4}b^{8-6}) = 8a^4b^6(7a^6 - 4b^2)$.

Ответ: $8a^4b^6(7a^6 - 4b^2)$.

12) В выражении $36mn^5 + 63m^2n^6$ найдем общий множитель.
НОД коэффициентов 36 и 63 равен 9.
Для переменной $m$ наименьшая степень - $m^1$.
Для переменной $n$ наименьшая степень - $n^5$.
Общий множитель равен $9mn^5$. Вынесем его за скобки:
$36mn^5 + 63m^2n^6 = 9mn^5(4m^{1-1}n^{5-5} + 7m^{2-1}n^{6-5}) = 9mn^5(4 + 7mn)$.

Ответ: $9mn^5(4 + 7mn)$.