Номер 441, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 441, страница 83.

Условие.

441. Разложите на множители:

1) $2x(a+b) + y(a+b);$

2) $(a-4) - b(a-4);$

3) $5a(m-n) + 7b(m-n);$

4) $6x(4x+1) - 11(4x+1);$

5) $a(c-d) + b(d-c);$

6) $x(x-6) - 10(6-x);$

7) $b(b-20) + (20-b);$

8) $6a(a-3b) - 13b(3b-a);$

9) $(m-9)^2 - 3(m-9);$

10) $a(a+5)^2 + (a+5);$

11) $(m^2-3) - n(m^2-3)^2;$

12) $8c(p-12) + 7d(p-12)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Основной метод, который используется для решения этих задач — вынесение общего множителя за скобки. Общим множителем может быть не только одночлен, но и целый многочлен (выражение в скобках).

1) $2x(a + b) + y(a + b)$

В данном выражении оба слагаемых, $2x(a + b)$ и $y(a + b)$, содержат одинаковый множитель $(a + b)$. Вынесем этот общий множитель за скобки. В скобках останется сумма того, что стояло перед общим множителем, то есть $2x + y$.

$2x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(2x + y)$

Ответ: $(a + b)(2x + y)$

2) $(a - 4) - b(a - 4)$

Здесь общий множитель — это $(a - 4)$. Первое слагаемое можно представить как $1 \cdot (a - 4)$. Вынесем $(a - 4)$ за скобки.

$(a - 4) - b(a - 4) = 1 \cdot (a - 4) - b(a - 4) = (a - 4)(1 - b)$

Ответ: $(a - 4)(1 - b)$

3) $5a(m - n) + 7b(m - n)$

Общий множитель здесь — $(m - n)$. Выносим его за скобки.

$5a(m - n) + 7b(m - n) = (m - n)(5a + 7b)$

Ответ: $(m - n)(5a + 7b)$

4) $6x(4x + 1) - 11(4x + 1)$

Общий множитель — $(4x + 1)$. Выносим его за скобки.

$6x(4x + 1) - 11(4x + 1) = (4x + 1)(6x - 11)$

Ответ: $(4x + 1)(6x - 11)$

5) $a(c - d) + b(d - c)$

Выражения в скобках $(c - d)$ и $(d - c)$ отличаются только знаком. Мы можем преобразовать второе слагаемое, вынеся $-1$ за скобки: $d - c = -(c - d)$.

$a(c - d) + b(d - c) = a(c - d) + b(-(c - d)) = a(c - d) - b(c - d)$

Теперь у нас есть общий множитель $(c - d)$, который можно вынести за скобки.

$(c - d)(a - b)$

Ответ: $(c - d)(a - b)$

6) $x(x - 6) - 10(6 - x)$

Аналогично предыдущему примеру, $6 - x = -(x - 6)$.

$x(x - 6) - 10(6 - x) = x(x - 6) - 10(-(x - 6)) = x(x - 6) + 10(x - 6)$

Выносим общий множитель $(x - 6)$.

$(x - 6)(x + 10)$

Ответ: $(x - 6)(x + 10)$

7) $b(b - 20) + (20 - b)$

Преобразуем второе слагаемое: $20 - b = -(b - 20)$.

$b(b - 20) + (-(b - 20)) = b(b - 20) - 1 \cdot (b - 20)$

Выносим общий множитель $(b - 20)$.

$(b - 20)(b - 1)$

Ответ: $(b - 20)(b - 1)$

8) $6a(a - 3b) - 13b(3b - a)$

Преобразуем выражение во второй скобке: $3b - a = -(a - 3b)$.

$6a(a - 3b) - 13b(-(a - 3b)) = 6a(a - 3b) + 13b(a - 3b)$

Выносим общий множитель $(a - 3b)$.

$(a - 3b)(6a + 13b)$

Ответ: $(a - 3b)(6a + 13b)$

9) $(m - 9)^2 - 3(m - 9)$

Общий множитель здесь — это $(m - 9)$. Запишем $(m - 9)^2$ как $(m - 9)(m - 9)$ и вынесем общий множитель.

$(m - 9)(m - 9) - 3(m - 9) = (m - 9)((m - 9) - 3)$

Упростим выражение во второй скобке.

$(m - 9)(m - 12)$

Ответ: $(m - 9)(m - 12)$

10) $a(a + 5)^2 + (a + 5)$

Общий множитель — $(a + 5)$. Второе слагаемое можно представить как $1 \cdot (a + 5)$.

$a(a + 5)^2 + 1 \cdot (a + 5) = (a + 5)(a(a + 5) + 1)$

Раскроем скобки во втором множителе.

$(a + 5)(a^2 + 5a + 1)$

Ответ: $(a + 5)(a^2 + 5a + 1)$

11) $(m^2 - 3) - n(m^2 - 3)^2$

Общий множитель — $(m^2 - 3)$. Первое слагаемое — это $1 \cdot (m^2 - 3)$.

$1 \cdot (m^2 - 3) - n(m^2 - 3)^2 = (m^2 - 3)(1 - n(m^2 - 3))$

Раскроем внутренние скобки во втором множителе.

$(m^2 - 3)(1 - nm^2 + 3n)$

Ответ: $(m^2 - 3)(1 - nm^2 + 3n)$

12) $8c(p - 12) + 7d(p - 12)^2$

Общий множитель — $(p - 12)$. Выносим его за скобки.

$(p - 12)(8c + 7d(p - 12))$

Раскроем внутренние скобки во втором множителе.

$(p - 12)(8c + 7dp - 84d)$

Ответ: $(p - 12)(8c + 7dp - 84d)$