Номер 444, страница 84 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 444, страница 84.

Условие.

444. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $m^2n + mn + n;$

2) $3x^6 + 6x^5 - 15x^4;$

3) $7a^4b^3 - 14a^3b^4 + 21a^2b^5;$

4) $20b^6c^5 - 45b^5c^6 - 30b^5c^5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы вынести общий множитель в выражении $m^2n + mn + n$, необходимо найти множитель, который присутствует в каждом из слагаемых. В данном случае это переменная $n$.
Разделим каждый член многочлена на общий множитель $n$:
Первый член: $m^2n \div n = m^2$
Второй член: $mn \div n = m$
Третий член: $n \div n = 1$
Теперь запишем общий множитель $n$ перед скобками, а в скобках — результат деления каждого члена на этот множитель:
$m^2n + mn + n = n(m^2 + m + 1)$
Ответ: $n(m^2 + m + 1)$

2) Для выражения $3x^6 + 6x^5 - 15x^4$ найдем общий множитель для всех членов. Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 3, 6 и 15. НОД(3, 6, 15) = 3.
Затем найдем общую переменную в наименьшей степени. Переменная $x$ есть во всех членах, наименьшая степень - $x^4$.
Таким образом, общий множитель равен $3x^4$.
Вынесем его за скобки, разделив каждый член на $3x^4$:
$3x^6 \div (3x^4) = x^{6-4} = x^2$
$6x^5 \div (3x^4) = 2x^{5-4} = 2x$
$-15x^4 \div (3x^4) = -5x^{4-4} = -5$
Получаем выражение:
$3x^6 + 6x^5 - 15x^4 = 3x^4(x^2 + 2x - 5)$
Ответ: $3x^4(x^2 + 2x - 5)$

3) В выражении $7a^4b^3 - 14a^3b^4 + 21a^2b^5$ определим общий множитель.
НОД коэффициентов 7, 14, 21 равен 7.
Для переменной $a$ наименьшая степень - $a^2$.
Для переменной $b$ наименьшая степень - $b^3$.
Общий множитель - $7a^2b^3$.
Разделим каждый член на $7a^2b^3$:
$7a^4b^3 \div (7a^2b^3) = a^{4-2}b^{3-3} = a^2$
$-14a^3b^4 \div (7a^2b^3) = -2a^{3-2}b^{4-3} = -2ab$
$21a^2b^5 \div (7a^2b^3) = 3a^{2-2}b^{5-3} = 3b^2$
Запишем итоговое выражение:
$7a^4b^3 - 14a^3b^4 + 21a^2b^5 = 7a^2b^3(a^2 - 2ab + 3b^2)$
Ответ: $7a^2b^3(a^2 - 2ab + 3b^2)$

4) В выражении $20b^6c^5 - 45b^5c^6 - 30b^5c^5$ найдем общий множитель.
НОД коэффициентов 20, 45, 30 равен 5.
Для переменной $b$ наименьшая степень - $b^5$.
Для переменной $c$ наименьшая степень - $c^5$.
Общий множитель - $5b^5c^5$.
Разделим каждый член на $5b^5c^5$:
$20b^6c^5 \div (5b^5c^5) = 4b^{6-5}c^{5-5} = 4b$
$-45b^5c^6 \div (5b^5c^5) = -9b^{5-5}c^{6-5} = -9c$
$-30b^5c^5 \div (5b^5c^5) = -6b^{5-5}c^{5-5} = -6$
Запишем итоговое выражение:
$20b^6c^5 - 45b^5c^6 - 30b^5c^5 = 5b^5c^5(4b - 9c - 6)$
Ответ: $5b^5c^5(4b - 9c - 6)$