Номер 446, страница 84 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 446, страница 84.

Условие.

446. Докажите, что сумма любого натурального числа и его квадрата является чётным числом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $n$ — произвольное натуральное число. Требуется доказать, что сумма этого числа и его квадрата, то есть выражение $n + n^2$, является чётным числом.

Преобразуем данное выражение, вынеся общий множитель $n$ за скобки: $n + n^2 = n(n+1)$.

Полученное выражение $n(n+1)$ представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел: $n$ и $n+1$. Для доказательства рассмотрим два возможных случая, так как любое натуральное число является либо чётным, либо нечётным.

1. Если число $n$ — чётное, то оно по определению делится на 2. Следовательно, и произведение $n(n+1)$ будет делиться на 2, а значит, является чётным числом.

2. Если число $n$ — нечётное, то следующее за ним натуральное число $n+1$ будет чётным и будет делиться на 2. Следовательно, произведение $n(n+1)$ также будет делиться на 2 и являться чётным числом.

Таким образом, в любом случае произведение $n(n+1)$ является чётным числом. Это доказывает, что и равная ему сумма $n+n^2$ всегда является чётной для любого натурального числа $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма любого натурального числа и его квадрата $n+n^2$ может быть представлена в виде произведения двух последовательных чисел $n(n+1)$. Так как в любой паре последовательных натуральных чисел одно из них обязательно является чётным, их произведение всегда будет чётным.