Номер 453, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 453, страница 85.

Условие.

453. Докажите, что значение выражения:

1) $19^5 + 19^4$ кратно 20;

2) $8^{10} - 8^9 - 8^8$ кратно 11;

3) $8^7 + 2^{15}$ кратно 5;

4) $2 \cdot 3^{2006} + 5 \cdot 3^{2005} + 7 \cdot 3^{2004}$ кратно 10;

5) $27^4 - 9^5$ кратно 24;

6) $12^4 - 4^6$ кратно 130.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $19^5 + 19^4$ кратно 20;

Чтобы доказать, что выражение кратно 20, вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $19^4$:
$19^5 + 19^4 = 19^4(19 + 1) = 19^4 \cdot 20$.
Так как один из множителей полученного произведения равен 20, то все выражение делится на 20 без остатка.

Ответ: доказано.

2) $8^{10} - 8^9 - 8^8$ кратно 11;

Вынесем за скобки общий множитель $8^8$:
$8^{10} - 8^9 - 8^8 = 8^8(8^2 - 8 - 1) = 8^8(64 - 8 - 1) = 8^8 \cdot 55$.
Поскольку $55 = 5 \cdot 11$, выражение можно записать как $8^8 \cdot 5 \cdot 11$. Наличие множителя 11 доказывает, что исходное выражение кратно 11.

Ответ: доказано.

3) $8^7 + 2^{15}$ кратно 5;

Приведем степени к общему основанию 2, зная, что $8 = 2^3$:
$8^7 = (2^3)^7 = 2^{21}$.
Исходное выражение принимает вид $2^{21} + 2^{15}$. Вынесем за скобки общий множитель $2^{15}$:
$2^{15}(2^{21-15} + 1) = 2^{15}(2^6 + 1) = 2^{15}(64 + 1) = 2^{15} \cdot 65$.
Так как $65 = 5 \cdot 13$, выражение можно записать как $2^{15} \cdot 5 \cdot 13$. Наличие множителя 5 доказывает, что исходное выражение кратно 5.

Ответ: доказано.

4) $2 \cdot 3^{2006} + 5 \cdot 3^{2005} + 7 \cdot 3^{2004}$ кратно 10;

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^{2004}$:
$3^{2004}(2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 + 7) = 3^{2004}(2 \cdot 9 + 15 + 7) = 3^{2004}(18 + 15 + 7) = 3^{2004} \cdot 40$.
Поскольку $40 = 4 \cdot 10$, выражение можно записать как $3^{2004} \cdot 4 \cdot 10$. Наличие множителя 10 доказывает, что исходное выражение кратно 10.

Ответ: доказано.

5) $27^4 - 9^5$ кратно 24;

Приведем степени к общему основанию 3, зная, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$:
$27^4 - 9^5 = (3^3)^4 - (3^2)^5 = 3^{12} - 3^{10}$.
Вынесем за скобки общий множитель $3^{10}$:
$3^{10}(3^2 - 1) = 3^{10}(9 - 1) = 3^{10} \cdot 8$.
Чтобы доказать кратность 24, представим $3^{10}$ как $3^9 \cdot 3$, так как $24 = 3 \cdot 8$:
$3^9 \cdot 3 \cdot 8 = 3^9 \cdot (3 \cdot 8) = 3^9 \cdot 24$.
Так как один из множителей произведения равен 24, то все выражение кратно 24.

Ответ: доказано.

6) $12^4 - 4^6$ кратно 130.

Преобразуем выражение, представив $12$ как $3 \cdot 4$:
$12^4 - 4^6 = (3 \cdot 4)^4 - 4^6 = 3^4 \cdot 4^4 - 4^6$.
Вынесем за скобки общий множитель $4^4$:
$4^4(3^4 - 4^2) = 4^4(81 - 16) = 4^4 \cdot 65$.
Чтобы доказать кратность 130, разложим множители. $130 = 2 \cdot 5 \cdot 13$.
$4^4 = (2^2)^4 = 2^8$.
$65 = 5 \cdot 13$.
Выражение равно $2^8 \cdot 5 \cdot 13$. Выделим множитель 130:
$2^7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 13 = 2^7 \cdot (2 \cdot 5 \cdot 13) = 128 \cdot 130$.
Так как один из множителей произведения равен 130, то все выражение кратно 130.

Ответ: доказано.