Номер 459, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 459, страница 85.

Условие.

459. Упростите выражение, используя вынесение общего множителя за скобки:

1) $(a - 1)(a + 2) - (a - 2)(a + 2) + (a - 3)(a + 2) - (a - 4)(a + 2);$

2) $(3a - 2)(5b^2 - 4b + 10) + (2 - 3a)(5b^2 - 6b + 10);$

3) $(4a - 7b)(2a^2 - 4ab + b^2) - (4a - 7b)(2a^2 - 4ab - b^2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(a - 1)(a + 2) - (a - 2)(a + 2) + (a - 3)(a + 2) - (a - 4)(a + 2)$

В данном выражении общим множителем для каждого слагаемого является $(a + 2)$. Вынесем его за скобки:

$(a + 2) \cdot ((a - 1) - (a - 2) + (a - 3) - (a - 4))$

Теперь упростим выражение во вторых скобках, раскрывая внутренние скобки. Необходимо внимательно следить за знаками при раскрытии:

$(a + 2) \cdot (a - 1 - a + 2 + a - 3 - a + 4)$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$(a - a + a - a) + (-1 + 2 - 3 + 4) = 0 \cdot a + 2 = 2$

Выражение во вторых скобках равно 2. Подставим это значение обратно:

$(a + 2) \cdot 2 = 2a + 4$

Ответ: $2a + 4$

2) $(3a - 2)(5b^2 - 4b + 10) + (2 - 3a)(5b^2 - 6b + 10)$

Заметим, что множители $(3a - 2)$ и $(2 - 3a)$ являются противоположными, так как $(2 - 3a) = -(3a - 2)$. Заменим $(2 - 3a)$ в исходном выражении:

$(3a - 2)(5b^2 - 4b + 10) - (3a - 2)(5b^2 - 6b + 10)$

Теперь общим множителем является $(3a - 2)$. Вынесем его за скобки:

$(3a - 2) \cdot ((5b^2 - 4b + 10) - (5b^2 - 6b + 10))$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(3a - 2) \cdot (5b^2 - 4b + 10 - 5b^2 + 6b - 10)$

Приведем подобные слагаемые:

$(5b^2 - 5b^2) + (-4b + 6b) + (10 - 10) = 0 + 2b + 0 = 2b$

В результате получаем:

$(3a - 2) \cdot 2b = 6ab - 4b$

Ответ: $6ab - 4b$

3) $(4a - 7b)(2a^2 - 4ab + b^2) - (4a - 7b)(2a^2 - 4ab - b^2)$

В этом выражении общий множитель — это $(4a - 7b)$. Выносим его за скобки:

$(4a - 7b) \cdot ((2a^2 - 4ab + b^2) - (2a^2 - 4ab - b^2))$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:

$(4a - 7b) \cdot (2a^2 - 4ab + b^2 - 2a^2 + 4ab + b^2)$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$(2a^2 - 2a^2) + (-4ab + 4ab) + (b^2 + b^2) = 0 + 0 + 2b^2 = 2b^2$

Умножим общий множитель на полученный результат:

$(4a - 7b) \cdot 2b^2 = 8ab^2 - 14b^3$

Ответ: $8ab^2 - 14b^3$