Номер 464, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 464, страница 86.

Условие.

464. Разложите на множители ($n$ – натуральное число):

1) $a^{n+2} - a^n$;

2) $3b^{n+2} - 2b^{n+1} + b^n$;

3) $32^n + 16^{2n+1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $a^{n+2} - a^n$

Для разложения на множители вынесем общий множитель с наименьшей степенью. В данном выражении это $a^n$.

$a^{n+2} - a^n = a^n \cdot a^2 - a^n \cdot 1 = a^n(a^2 - 1)$

Выражение в скобках $a^2 - 1$ является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

$a^2 - 1 = a^2 - 1^2 = (a-1)(a+1)$

Таким образом, окончательное разложение на множители: $a^n(a-1)(a+1)$.

Ответ: $a^n(a-1)(a+1)$

2) $3b^{n+2} - 2b^{n+1} + b^n$

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $b^n$.

$3b^{n+2} - 2b^{n+1} + b^n = b^n(3b^2 - 2b^1 + 1) = b^n(3b^2 - 2b + 1)$

Проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $3b^2 - 2b + 1$. Для этого найдем его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у квадратного трехчлена нет действительных корней, и он не раскладывается на линейные множители над полем действительных чисел.

Ответ: $b^n(3b^2 - 2b + 1)$

3) $32^n + 16^{2n+1}$

Представим основания степеней 32 и 16 как степени числа 2: $32 = 2^5$ и $16 = 2^4$.

$32^n + 16^{2n+1} = (2^5)^n + (2^4)^{2n+1}$

Используя свойство степени $(x^a)^b = x^{ab}$, упростим выражение:

$2^{5n} + 2^{4(2n+1)} = 2^{5n} + 2^{8n+4}$

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени. Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $5n < 8n+4$. Следовательно, наименьший показатель — это $5n$.

$2^{5n} + 2^{8n+4} = 2^{5n}(1 + 2^{(8n+4)-5n}) = 2^{5n}(1 + 2^{3n+4})$

Ответ: $2^{5n}(1 + 2^{3n+4})$