Номер 463, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 463, страница 86.

Условие.

463. Вынесите за скобки общий множитель ($n$ — натуральное число):

1) $a^{n+1} + a^{n}$;

2) $b^{n} - b^{n-3}$, $n > 3$;

3) $c^{n+2} + c^{n-4}$, $n > 4$;

4) $d^{2n} - d^{n}$;

5) $2^{n+3} + 3 \cdot 2^{n+2} - 5 \cdot 2^{n+1}$;

6) $9^{n+1} + 3^{n+2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы вынести общий множитель в выражении $a^{n+1} + a^n$, находим степень с наименьшим показателем. В данном случае это $a^n$. Представим $a^{n+1}$ как $a^n \cdot a^1$.
$a^{n+1} + a^n = a^n \cdot a + a^n \cdot 1$
Выносим общий множитель $a^n$ за скобки:
$a^n(a + 1)$
Ответ: $a^n(a + 1)$

2) В выражении $b^n - b^{n-3}$ наименьший показатель степени это $n-3$. Выносим за скобки $b^{n-3}$.
Для этого представим $b^n$ как $b^{(n-3)+3} = b^{n-3} \cdot b^3$.
$b^n - b^{n-3} = b^{n-3} \cdot b^3 - b^{n-3} \cdot 1$
Выносим общий множитель $b^{n-3}$ за скобки:
$b^{n-3}(b^3 - 1)$
Ответ: $b^{n-3}(b^3 - 1)$

3) В выражении $c^{n+2} + c^{n-4}$ наименьший показатель степени это $n-4$. Выносим за скобки $c^{n-4}$.
Представим $c^{n+2}$ как $c^{(n-4)+6} = c^{n-4} \cdot c^6$.
$c^{n+2} + c^{n-4} = c^{n-4} \cdot c^6 + c^{n-4} \cdot 1$
Выносим общий множитель $c^{n-4}$ за скобки:
$c^{n-4}(c^6 + 1)$
Ответ: $c^{n-4}(c^6 + 1)$

4) В выражении $d^{2n} - d^n$ наименьший показатель степени это $n$. Выносим за скобки $d^n$.
Представим $d^{2n}$ как $d^{n+n} = d^n \cdot d^n$.
$d^{2n} - d^n = d^n \cdot d^n - d^n \cdot 1$
Выносим общий множитель $d^n$ за скобки:
$d^n(d^n - 1)$
Ответ: $d^n(d^n - 1)$

5) В выражении $2^{n+3} + 3 \cdot 2^{n+2} - 5 \cdot 2^{n+1}$ общим множителем является степень двойки с наименьшим показателем, то есть $2^{n+1}$.
Представим остальные слагаемые через этот множитель:
$2^{n+3} = 2^{n+1} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{n+1}$
$3 \cdot 2^{n+2} = 3 \cdot 2^{n+1} \cdot 2^1 = 6 \cdot 2^{n+1}$
Подставим полученные выражения в исходное:
$4 \cdot 2^{n+1} + 6 \cdot 2^{n+1} - 5 \cdot 2^{n+1}$
Выносим общий множитель $2^{n+1}$ за скобки и вычисляем значение в скобках:
$2^{n+1}(4 + 6 - 5) = 2^{n+1} \cdot 5 = 5 \cdot 2^{n+1}$
Ответ: $5 \cdot 2^{n+1}$

6) В выражении $9^{n+1} + 3^{n+2}$ сперва приведем степени к одному основанию. Так как $9 = 3^2$, то:
$9^{n+1} = (3^2)^{n+1} = 3^{2(n+1)} = 3^{2n+2}$
Выражение принимает вид: $3^{2n+2} + 3^{n+2}$.
Теперь вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $3^{n+2}$.
Представим $3^{2n+2}$ как $3^{(n+2)+n} = 3^{n+2} \cdot 3^n$.
$3^{n+2} \cdot 3^n + 3^{n+2} \cdot 1$
Выносим общий множитель $3^{n+2}$ за скобки:
$3^{n+2}(3^n + 1)$
Ответ: $3^{n+2}(3^n + 1)$