Номер 460, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 460, страница 85.

Условие.

460. Упростите выражение, используя вынесение общего множителя за скобки:

1) $ab(a^2 + ab + b^2) - ab(a^2 - ab + b^2);$

2) $(a + b)(a + 1) - (a + b)(1 - b) + (b + a)(b - a).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Дано выражение $ab(a^2 + ab + b^2) - ab(a^2 - ab + b^2)$.

Это выражение состоит из двух членов, у которых есть общий множитель $ab$. Вынесем этот общий множитель за скобки:

$ab \cdot ((a^2 + ab + b^2) - (a^2 - ab + b^2))$

Теперь упростим выражение, находящееся в больших скобках. Раскроем внутренние скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак "минус", все знаки внутри нее изменятся на противоположные:

$a^2 + ab + b^2 - a^2 + ab - b^2$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(a^2 - a^2) + (ab + ab) + (b^2 - b^2) = 0 + 2ab + 0 = 2ab$

Теперь умножим общий множитель $ab$ на полученное выражение $2ab$:

$ab \cdot (2ab) = 2 \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b = 2a^2b^2$

Ответ: $2a^2b^2$

2)

Дано выражение $(a + b)(a + 1) - (a + b)(1 - b) + (b + a)(b - a)$.

Заметим, что $(b + a)$ равно $(a + b)$ из-за коммутативности (переместительного свойства) сложения. Перепишем выражение:

$(a + b)(a + 1) - (a + b)(1 - b) + (a + b)(b - a)$

Общим множителем для всех трех слагаемых является $(a + b)$. Вынесем его за скобки:

$(a + b) \cdot ((a + 1) - (1 - b) + (b - a))$

Теперь упростим выражение во второй (большой) скобке. Для этого раскроем внутренние скобки:

$a + 1 - 1 + b + b - a$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(a - a) + (1 - 1) + (b + b) = 0 + 0 + 2b = 2b$

Подставим упрощенное выражение обратно:

$(a + b) \cdot 2b$

Обычно одночлен-множитель ставят перед скобкой:

$2b(a + b)$

Ответ: $2b(a+b)$