Номер 456, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 456, страница 85.

Условие.

456. Докажите, что если:

1) $a + b + c = 0$, то $a^3b^3c^2 + a^2b^4c^2 + a^2b^3c^3 = 0$;

2) $a^2 - b^2 = 2ab + 1$, то $a^6b^4 - 2a^5b^5 - a^4b^6 = a^4b^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Дано, что $a + b + c = 0$. Необходимо доказать, что $a^3b^3c^2 + a^2b^4c^2 + a^2b^3c^3 = 0$.
Рассмотрим левую часть равенства и вынесем за скобки общий множитель $a^2b^3c^2$:
$a^3b^3c^2 + a^2b^4c^2 + a^2b^3c^3 = a^2b^3c^2(a + b + c)$.
По условию задачи, $a + b + c = 0$. Подставим это значение в полученное выражение:
$a^2b^3c^2(a + b + c) = a^2b^3c^2 \cdot 0 = 0$.
Таким образом, мы показали, что левая часть выражения равна нулю, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

Дано, что $a^2 - b^2 = 2ab + 1$. Необходимо доказать, что $a^6b^4 - 2a^5b^5 - a^4b^6 = a^4b^4$.
Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $a^6b^4 - 2a^5b^5 - a^4b^6$.
Вынесем за скобки общий множитель $a^4b^4$:
$a^6b^4 - 2a^5b^5 - a^4b^6 = a^4b^4(a^2 - 2ab - b^2)$.
Теперь преобразуем исходное условие $a^2 - b^2 = 2ab + 1$. Перенесем $2ab$ в левую часть равенства:
$a^2 - 2ab - b^2 = 1$.
Подставим полученное значение выражения в скобках ($1$) в преобразованную левую часть доказываемого равенства:
$a^4b^4(a^2 - 2ab - b^2) = a^4b^4 \cdot 1 = a^4b^4$.
В результате преобразований мы получили, что левая часть исходного равенства равна его правой части: $a^4b^4 = a^4b^4$.
Равенство доказано.

Ответ: Доказано.